Linearfaktorzerlegung des folgenden Polynoms bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimme die Linearfaktorzerlegung des folgenden Polynoms, indem ihr die vorgegebene Nullstelle für eine Polynomdivision nutzt. Bringt das Polynom danach auf die Darstellung

Pi = a(x-b1)(x-b2)(x-b3), a,b1,b2,b3 ∈ℝ

wobei die Darstellungen natürlich unterschiedliche Faktoren aufweisen.

a) P₁(x) = x^3 - 10x^2 + 29x - 20,   P₁(5)=0


Ich habe leider Probleme bei dieser Aufgabe, wie löse ich diese am besten? Vielen Dank :)

Answer 1

P1(x) = x^3 - 10·x^2 + 29·x - 20 ; P1(5) = 0

Mache eine Polynomdivision oder Horner Schema für die bekannte Nullstelle x = 5

(x^3 - 10·x^2 + 29·x - 20) : (x - 5) = x^2 - 5·x + 4

Zerlege das Restpolynom weiter mit dem Satz von Vieta

x^2 - 5·x + 4

-1 * (-4) = 4
-1 + (-4) = -5

(x - 1)·(x - 4) = 0

Damit lautet dann die Faktorzerlegung

P1(x) = x^3 - 10·x^2 + 29·x - 20 = (x - 1)·(x - 4)·(x - 5)

Answer 2

Dividiere die P1 durch (x-5), dann erhältst du (x²-5x+4), diese Gleichung lösen gibt x2=4, x3=1..damit hast du die Linearfaktoren (x-5)(x-4)(x-1)

Answer 3

Aloha :)

Polynomdivision ist oft viel zu aufwändig. Da du die Nullstelle \(5\) kennst, weißt du, dass du \((x-5)\) ausklammern kannst. Dafür kannst du das Polynom kurz vorbereiten:$$P(x)=x^3-10x^2+29x-20$$$$P(x)=x^3-5x^2-5x^2+25x+4x-20$$$$P(x)=x^2(x-5)-5x(x-5)+4(x-5)$$$$P(x)=(x^2-5x+4)(x-5)$$Das verbliebene quadratische Polynom zerfällt mit dem Satz von Vieta. Dazu brauchst du zwei Zahlen, deren Summe die Zahl vor dem \(x\) ist, also gleich \((-5)\) und deren Produkt gleich der Zahl ohne \(x\) ist, also gleich \(4\). Das leisten die beiden Zahlen \((-4)\) und \((-1)\):$$P(x)=(x-4)(x-1)(x-5)$$