Ganzrationale Funktionsgleichung 3. Grades aufstellen

Question

Kann mir das vielleicht jemand erklären :

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in T(0/0) einen Tiefpunkt und in H(4/4) einen Hochpunkt

Answer 1

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat in
T(0/0) einen Tiefpunkt und in H(4/4) einen Hochpunkt

f ( x ) = a * x^4 + b * x^3 + c * x^2 + d * x + e
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2 + 2 * c * x + d

f ( 0 ) = 0  => e = 0
f ´( 0 ) = 0  => d = 0

f ( x ) = a * x^4 + b * x^3 + c * x^2
f ´( x ) = 4 * a * x^3 + 3 * b * x^2 + 2 * c * x

f ( 4 ) = 4
f ´( 4 ) = 0

3 Unbekannte und 2 Gleichungen. Fehlt noch eine Angabe ?

Ich bin jetzt am überlegen ob man mit der Aussage Hoch- und Tiefpunkt
etwas anfangen kann.

Ich sehe gerade ich habe mich verlesen. Die Funktion ist 3.Grades.

Comments

f ( x ) = a * x³ + b * x² + c * x + d
f ´( x ) = 3 * a * x² + 2 * b * x + c

f ( 0 ) = 0  => d = 0
f ´( 0 ) = 0  => c = 0

f ( x ) = a * x³ + b * x²
f ´( x ) = 3 * a * x² + 2 * b * x

f ( 4 ) = a * 4^3 + b * 4^2 = 4
f ´( 4 ) = 3 * a * 4^2 + 2 * b * 4 = 0

a * 64 + b * 16 = 4
a * 48 + b * 8 = 0  | * 2
96 * a + 16 * b = 0
16 * b = - 96 * a
in 1.) eingesetzt
a * 64 + ( -96 * a )  = 4
-32 * a = 4
a = - 1/8

b = 3/4

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Ich bin jetzt am überlegen ob man mit der Aussage Hoch- und Tiefpunkt
etwas anfangen kann.

2. Ableitung grösser oder kleiner Null zeigt Min oder Max

wenn Null, dann Sattel

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Ich bin jetzt wieder am überlegen ob man mit der
Aussage Hoch- und Tiefpunkt  etwas anfangen kann.

Alle Aussagen beziehen sich auf die fälschlicherweise angenommene
Funktion 4.Grades.

f ( 4 ) = 4
f ´( 4 ) = 0

Bezieht man noch die Angaben zum Hoch- und Tiefpunkt mit ein gilt
f ´´ ( 0 ) > 0
f ´´ ( 4 ) < 0

An Aussagen hätte man dann
( in der Reihenfolge wie oben angeführt )

256 * a + 64 * b + 16 * c = 4
256 * a + 48 * b + 8 * c = 0
2 * c > 0
192 * a + 24 * b + 2 * c < 0

Kann sich eine Lösung ergeben ?

Desweiteren : läßt sich irgendwie erschließen ob ein
Wendepunkt in der MItte von ( 0 | 0 ) ( 4 | 4 ) liegen muß ?

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leichte Kurskorrektur:

$$ f(x)=ax^4+b x^3+cx^2+dx +e $$
$$ f'(x)=4ax^3+3b x^2+2cx+d $$
$$ f'(0)=0 $$$$d=0$$
$$ f'(4)=0 $$
$$ 0=4a   \cdot 4^3+3b  \cdot4^2+2c  \cdot4+0 $$

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Deine letzte Zeile steht bei mir schon

256 * a + 48 * b + 8 * c = 0

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"Rohware":
256 * a + 64 * b + 16 * c = 4
256 * a + 48 * b + 8 * c = 0
2 * c > 0
192 * a + 24 * b + 2 * c < 0
"veredelt":
$$   64 * a + 16 * b + 4 * c = 1$$
$$32 * a +6 * b + c = 0 $$
$$c > 0 $$
$$96 * a + 12 * b +  c < 0$$

fortsetzung folgt   ...

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Desweiteren : läßt sich irgendwie erschließen ob ein
Wendepunkt in der MItte von ( 0 | 0 ) ( 4 | 4 ) liegen muß?

Natürlich, der Graph ist symmetrisch zu seinem Wendepunkt.

Answer 2

" ganzrationalen Funktion dritten Grades 

f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d

hat in T(0/0) einen Tiefpunkt 

f(x) = (x-0)^2 (ux + v) = ux^3 + vx^2       | Zwei Unbekannte. 

f ' (x) = 3ux^2 + 2vx

und in H(4/4) einen Hochpunkt"

f '(4) = 0 = 3u*16 + 2v*4      (I)

f(4) = 4 = u*4^3 + v 4^2     (II)

Auflösen.

f '(4) = 0 = 3u*16 + 2v*4      |:8

==> 0 = 6u + v ==> v = -6u         (I')

f(4) = 4 = u*4^3 + v 4^2 

1 = 16u + 4v      

1 = 16u - 24u = -8u

-1/8 = u

v = 6/8 = 3/4

f(x) = -1/8 x^3 + 3/4 x^2