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Hallo :)

Ich brauche bitte ganz schnell Hilfe zu dieser Aufgabe:

Ich muss die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ermitteln. Der lokale Maximumpunkt H(1;6) und der lokale Minimumpunkt T(3;2) ist gegeben.

ich weiß natürlich, dass ich die allgemeine Form f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d benötige, allerdings weiß ich nicht wie ich die aufgäbe lösen kann.

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f(1)= 6

f '(1)=0

f(3) = 2

f '(3)= 0

Damit kannst du 4 Gleichungen aufstellen und die Variablen bestimmen.
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Ich muss die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ermitteln. Der lokale Maximumpunkt H(1;6) und der lokale Minimumpunkt T(3;2) ist gegeben.

ich weiß natürlich, dass ich die allgemeine Form f(x) = ax3 + bx2 + cx + d benötige,

also  f ' ( x) = 3ax2 + 2bx + c 

und f( 1) = 6      f(3) = 2

f ' (1)  = 0    und  f ' (3) = 0

gibt

       a  +   b   +  c   +   d   =  6
27a   + 9b   +   3c   +   d  =  2
  3a    +  2b     + c            = 0
  27a   + 6b     + c             = 0


gibt  

a=1   b=-6   c=9   d=2 

also  f(x) = x3 - 6x2 + 9x + 2

Etwa so:

~plot~ x^3-6x^2+9x+2;[[-1|5|-1|10]] ~plot~

 

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f(x) = a·x^3 + b·x^2 + c·x + d

f'(x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + c

f(1) = 6 --> a + b + c + d = 6

f'(1) = 0 --> 3·a + 2·b + c = 0

f(3) = 2 --> 27·a + 9·b + 3·c + d = 2

f'(3) = 0 --> 27·a + 6·b + c = 0

Löse das Gleichungssystem und erhalte: a = 1 ∧ b = -6 ∧ c = 9 ∧ d = 2

Die Funktion lautet damit

f(x) = x^3 - 6·x^2 + 9·x + 2

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