Extrema bei einem offenen Intervall und wann lokales Max. ein Globales?

Question

Hi,
hätte zwei Fragen auf die ich leider noch keine genaue Antwort gefunden habe. Vielleicht weiß jemand von euch eine Antwort auf eine meiner Fragen. 

1.) Was muss ich bei einem offenen Intervall (a,b) machen, wenn ich allgemein alle Extrema bestimmen soll? 
Wie helfen mir da die Grenzwerte weiter?


2.) Wann ist ein lokales Maximum/Minimum auch ein globales Maximum/Minimum?

Die Definition weiß ich, aber habe in einer Hausübung hingeschrieben gehabt:  
" x=3 ist auch ein globales Maximum, weil für alle y∈[-3,3] gilt: f(y) ≤ f(x)". Da hat mein Tutor daneben kommentiert: "Warum?" ...muss ich eventuell noch die Monotonie nennen?


Wäre euch echt dankbar für jede Hilfe :-) 

LG

Answer 1

1.) Was muss ich bei einem offenen Intervall (a,b) machen, wenn ich allgemein alle Extrema bestimmen soll?

Wie helfen mir da die Grenzwerte weiter?

Du bestimmst zunächst alle Lokalen Extrema. Dann bestimmst du noch die Grenzwerte für x --> a und x --> b. 

Nun vergleichst du die y-Werte deiner lokalen Maxima und der Grenzwerte. Der höchste Wert ist dann das globale Maximum. 

Nun vergleichst du die y-Werte deiner lokalen Minima und der Grenzwerte. Der niedrigste Wert ist dann das globale Minimum. 

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2.) Wann ist ein lokales Maximum/Minimum auch ein globales Maximum/Minimum? 

Ein lokales Maximum ist zugleich globales Maximum wenn dieses tatsächlich der höchste Wert ist. Also andere Maxima oder Funktionswerte an den Definitionsgrenzen nicht höher liegen.

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Die beste Veranschaulichung für ein Maximum wurde hier vor
einer Woche gegeben :
Der Mount Everest ist das globale Maximum auf diesem Planeten
Die Zugspitze ist ein lokales Maximum.

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Danke euch, habt mir weitergeholfen. :-)

Answer 2

1) Extrema normal berechnen im Definitionsbereich. Den Rand(Grenzwerte brauchen wir für 2)

2) Die Bedingung ist richtig. Die Bedingung sagt aus, dass alle Werte im Definitionsbereich kleiner als dieses Maximum sein müssen. Als Begründung reicht es nun aus, dass du den Rand betrachtest(nachdem du bereits das größte deiner Maxima gewählt hast).  Du hast ja bereits alle Extrema bestimmt. Daher weißt du, dass der Graph nur noch nach oben bzw. nach unten gekrümmt ist,wenn du dich den Rand annäherst. Extrema sind ja das einzige, das diese Krümmung ändern kann.

Du nimmst also deine Randpunkte und betrachtest den Grenzwert dieser Randpunkte. Wenn dieser Grenzwert kleiner als dein größtes Maximum ist, dann hast du ein globales Maximum.

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Danke dir, deine Antwort hat mir auch weitergeholfen :-)