Gleichung einer Parabel bestimmen: Scheitel liegt im Hochpunkt von f

0 Daumen
1,443 Aufrufe

Funktion=    (x)=0,5x^4 - 2x^2 + 4

d) Eine nach unten geöffnete Parabel, deren Scheitel im Hochpunkt von f liegt, soll durch die beiden Tiefpunkte von f gehen. Bestimmen Sie ihre Gleichung.

Gefragt 24 Sep 2012 von Anes

2 Antworten

+2 Daumen
 
Beste Antwort

Ich mach mal eine Skizze mit der gegebenen blauen Kurve und dem Ansatz für die gesuchte Parabel.

Diese muss aus Symmetriegründen den Schweitelpunkt in (0/4) haben.

Deshalb hat sie die Gleichung y = 4 - a x^2  , a>0

Für die Skizze habe ich yviolett = 4 - 0.5 x^2 , yrot = 4 -  x^2 und ygrün = 4 - 2 x^2 gewählt.

Zufällig erfüllt yrot die Bedingung. Wir wissen also, was rauskommen muss.

Schar von Parabeln

Wir müssen also die 'Tiefpunkte' der blauen Kurve berechnen.

 

 f (x)=0,5x^4 - 2x^2 + 4                |ableiten, 0 setzen

f'(x) = 2x^3 - 4x = 0                      | Faktorisieren

2x(x^2-2) =0

2x(x-√2)(x+√2) = 0

x1=0 (Hochstelle), x2,3 = ± √2   Tiefstelle

Einen Tiefpunkt berechnen

 f (√2)=0,5(√2)^4 - 2(√2)^2 + 4 = 0.5* 4 - 2*2 + 4 = 2              T(√2 |2)

Jetzt in den Ansatz T einsetzen und a berechnen

y= 4 - a x^2

2 = 4- a (√2)^2

2 = 4 - a *2       ------->a = 1

Deshalb ist tatsächlich y = 4 - x^2 die gesuchte Parabel.

Link zu einem andern Teil der Kurvendiskussion von f(x) https://www.mathelounge.de/2550/kopfschmerzen-wegen-dieser-aufgabe

 

Beantwortet 24 Sep 2012 von Lu 106 k
Mal eine kleine Frage : Bist du Matheprofessor oder macht dir das einfach nur spaß leuten wie mir die nur teilweise ahnung von mathe haben dies zu erklären ?
+1 Punkt

Du machst ein Gleichungssystem

ax12 + bx1 + c = y1

ax22 + bx2 + c = y2

ax32 + bx3 + c = y3

3 Unbekannte a,b,c

für x setzt Du die drei x-Koordinaten der Extremstellen ein, für y die f(x) an diesen Stellen

Die Tiefpunkte sind an den Stellen ±√2, das relative Maximum ist an der Stelle =0 mit f(0)=4

Ich habe erhalten : g(x) = -x2 + x +4

Beantwortet 24 Sep 2012 von Capricorn 2,2 k

Lu's Lösung ist richtig, das x gehört nicht in die Gleichung

g(x) = -x2 +4

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by Matheretter
...