Konvergenzradius einer Potenzreihe berechnen

Question

folgende Aufgabe:

Ich soll von dieser Potenzreihe

den Konvergenzradius ermitteln.

Diese Potenzreihe gehört zu der Funktion arctan(x), dennoch hilft mir das bei der Berechnung nicht sonderlich viel weiter.

Als Lösung kommt p = 1/2 raus. Wie kommt man darauf? Man ermittelt ja Konvergenzradien mit Wurzel- oder Quotientenkriterium, aber ich komme dennoch nicht auf das richtige Ergebnis.

Answer 1

Es ist ja ak = 0 für k = 2n und ak = (-1)^k *  2 ²ⁿ⁺¹ / ( 2n+1)  für k = 2n+1

Bestimme dann lim sup k-te Wurzel ( Betrag von a_k ) = lim ( n gegen unendlich) ( 2 ²ⁿ⁺¹ / (2n+1) ) ^1/(2n+1)

=   2 /    lim (n gegen unendlich) (2n+1) ) 1/(2n+1) = 2   / 1   = 2

Also Konvergenzradius 1/2

Answer 2

du hast eine lückenhafte Potenzreihe vorliegen, bei der alle geraden Potenzen fehlen. D.h. insbesondere , dass du mit dem "normalen" Quotienten-Kriterium nicht weiter kommst, da du ständig durch 0 dividieren würdest.

Was du aber hier verwenden kannst (vllt habt ihr den entsprechenden Satz ja auch in der Vorlesung schon gehabt):

Da  $$ c := \lim \limits_{k \to \infty}\left | \frac{\frac{(-1)^k}{2k+1}}{\frac{(-1)^{k+1}}{2k+3}} \right |$$ existiert, konvergiert die Potenzreihe für alle \(x\), für die gilt:

$$ |2x| < \sqrt{c} $$

Damit dürftest du auch auf den Konvergenzradius kommen (diese einfache Umformung und Grenzwertberechnung kriegst du bestimmt selbst hin).

Gruß