Extrema von Funktion mit mehreren Veränderlichen

Question

Ich habe  fx (x,y) = 2x exp (x^2 - cos y) fy (x,y) = sin(y) exp (x^2 - cos y )
Lösung der Aufgabe :  Nur für f(0,0) hat die Funktion ein Extrema . 
fx wird ja nur Null, wenn x = 0 gilt , da e^x immer größer als Null gilt .  Bei fy sollte doch gelten , dass sich Null ergibt , wenn y = (pi/2) * z , z in Z   , da sin dort seine Nullstellen hat , oder?  Die Lösung gibt aber an f(0,0) als einziges Extrema an . 

Answer 1

Das mit grad = 0 ist ja nur eine notwendige Bedingung.

Du musst noch die 2. Ableitung betrachten, um zu entscheiden ob

alle Nullstellen des Gradienten auch wirklich Extremstellen sind.

Die Nullstellen von sin sind übrigens die Vielfachen von pi.

Und die Det. der Hessematrix ist für pi z.B  negativ, also dort

keine Extremstelle.

Comments

Und die Nullstellen des Gradienten , die keine Extrema sind , müssten dann Sattelpunkte sein , welche keine Extrema sind , oder? 

---

Nur bei det ( Hessematrix) < 0 ist es ein Sattelpunkt und damit kein Extr.pkt.

---

Ich habe ganz vergessen , dass sowohl für lok. Min und Max det der HesseMatrix > 0 gelten muss . Danke :)