In einem Quader ist eine Pyramide einbeschreiben, Abstand und P berechnen (Vektoren)

Question

Aufgabe:

Einem Quader ist eine Pyramide einbeschrieben.

D ist Kantenmittelpunkt. Es gibt einen Punkt P auf der Strecke \( \overline{A D} \), der von den Ebenen BCS und EFGH gleichen Abstand hat.

a) Welche Koordinaten hat \( P \)?

b) Wie gross ist der Abstand?

Ansatz/Problem:

Ich weiss nur, dass man mit der Winkelhalbierende und der Hessesche Normalenform arbeiten muss. Aber ich weiss nicht wie ich eine Gleichung von der Ebenen BCS und EFGH bekomme.

Answer 1

Abstandsformel für Ebene BCS

B = [30,30,0]
C = [0,30,0]
S = [15,15,20]

BC = [0,30,0] - [30,30,0] = [-30, 0, 0]
BS = [15,15,20] - [30,30,0] = [-15, -15, 20]

n = [-30, 0, 0] ⨯ [-15, -15, 20] = 150 * [0, 4, 3]

[x,y,z] * [0, 4, 3] = [30,30,0] * [0, 4, 3]
4·y + 3·z = 120
d = (4·y + 3·z - 120) / √(4^2 + 3^2) = 0.8·y + 0.6·z - 24

 

Abstandsformel für EFG

z = 20
d = z - 20

 

 

Gerade AD

A = [30, 0, 0]
D = [0, 30,10]

AD: [30, 0, 0] + r * ([0, 30,10] - [30, 0, 0]) = [30 - 30·r, 30·r, 10·r]

 

Wir suchen jetzt einen Punkt bei dem die Abstände gleich sind

|0.8·y + 0.6·z - 24| = |z - 20|
|0.8·(30·r) + 0.6·(10·r) - 24| = |(10·r) - 20|
r = 1.1 oder r = 0.2

[30 - 30·1.1, 30·1.1, 10·1.1] = [-3, 33, 11]

[30 - 30·0.2, 30·0.2, 10·0.2] = [24, 6, 2]

Das sollten jetzt die Punkte sein, wo der Abstand gleich groß ist.