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Ich schreibe nächsten Monat mein Abitur. Ich weiß zwar jetzt, wie man die Koordinatenform bildet, aber nicht, wozu sie konkret gut ist. Dasselbe bei der Normalenform, sodass ich nicht weiß, wie ich sie anwende. Außerdem wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand den Unterschied zwischen der üblichen Normalenform und der Hessischen Normalenform erklärt.

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Es hört sich so an, als ob es um Ebenengleichungen geht.

Mit der Parameterform hast du offenbar kein Problem,

da du sie nicht erwähnst.

Koordinatenform ist z.B. sowas  2x + y - 2z = 6  .

Jeder Punkt der Ebene erfüllt dann diese Gleichung.

Sie ist also sehr geeignet um zu prüfen , ob ein Punkt in der

Ebene liegt, etwa  P (1;2;-1) gibt beim Einsetzen

2*1 + 2 -2*(-1) = 6 stimmt, also P in E.

oder Schnitt mit einer Achse, etwa der x-Achse .

Punkt auf der x-Achse ist von der Form ( x;0;0) also

2x + 0 + 0 = 6 also   x=3 und damit

(3;0;0) der  Punkt, bei dem die x-Achse die Ebene schniedet.

Die Zahlen vor x , y und z kannst du auch als Komponenten

eines Vektors interpretieren 

          2
n  =    1
          -2

Das ist dann ein Vektor, der auf der Ebene senkrecht steht, sog.

Normalenvektor. Dann ist die Gleichung von oben auch so zu schreiben

mit dem Skalarprodukt von Vektoren: (sog. Normalenform)

2              x
1       *     y         =   6 
-2            z



Und wenn du bei dieser Form einen Normalenvektor mit

der Länge 1 wählst, dann hast du die HESSE-Normalenform.

Sähe hier so aus(  weil Länge von 

          2
n  =    1
          -2

=  √ (4 + 1 + 4 ) = 3  musst du also den Faktor 1/3  auf beiden Seiten ergänzen

       2/3              x
       1/3       *     y         =   2  
      -2/3             z

Dann ist der Betrag der Zahl hinter dem Gleichheitszeichen der

Abstand der Ebene vom Nullpunkt (hier also 2).

Du kannst auch die 2 auf die andere Seite bringen:

       2/3              x
       1/3       *     y         -   2   = 0  
      -2/3             z

Und wenn du in dieser Form für x,y,z die Koordinaten eines

beliebigen Punktes einsetzt,  dann entsteht an Stelle der 0 eine

Zahl, deren Betrag den Abstand dieses Punktes von der Ebene

angibt.
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Mit Koordinatenform ist wohl die Parameterform gemeint? Die Parameterform lässt sich dann in Koordinatengleichungen aufteilen. Wenn man den gemeinsamen Punkt einer Geraden und einer Ebene bestimmen will, ist es von Vorteil, die Ebenengleichung in Normalenform zu kennen. Der Unterschied zwischen Normöenform und Hessescher Normalenform ist, dass der Nomalenvektor der HNF die Länge 1 hat. Die HNF eignet sich besonders gut zur Abstandsbestimmung Punkt/Ebene.

Avatar von 123 k 🚀

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