In einer Urne sind n Kugeln, davon 20% weisse und 80% schwarze. n= 10, 100, 1000

Question

Aufgabe:

In einer Urne sind \( n \) Kugeln, davon \( 20 \% \) weiße und \( 80 \% \) schwarze Kugeln. 5 Kugeln werden

(1) mit Zurücklegen,

(2) ohne Zurücklegen gezogen.

Betrachte das Ereignis: "Eine Kugel ist weiß." Für welche \( n \) kann man den Unterschied zwischen (1) und (2) vernachlässigen? Berechne dazu die Wahrscheinlichkeit für n = 10, 100, 1000 (n = 20, 200, 2000).

Answer 1

Für große n kann man die Wahrscheinlichkeit ohne zurücklegen mit der Wahrscheinlichkeit mit zurücklegen annähern.

 

Mit Zurücklegen (die Anzahl kugeln ist hier uninteressant)

P(X=1) = (5 über 1) * 0.2^1 * 0.8^4 = 0.4096

 

Ohne Zurücklegen (mit hypergeometrischer Verteilung)

P(n, X=1) = (0.2n über 1) * (0.8n über 4) / (n über 5)

P(10, X=1) = (2 über 1) * (8 über 4) / (10 über 5) = 0.5555555555

P(100, X=1) = (20 über 1) * (80 über 4) / (100 über 5) = 0.4201440026

P(n, X=1) = (200 über 1) * (800 über 4) / (1000 über 5) = 0.4106269533