Nr 1.
Vom Punkt P(2/5) werden die Tangenten an den Graphen von f mit f(x)= -1/2x³+3/2x+2 gelegt. Bestimmen Sie die Gleichung dieser Tangenten und die Berührpunkte.
Ansatz Tangentengleichung
t: y = mx + q
P einsetzen 5 = 2m + q. Also: q = 5-2m
t: y = mx + 5 -2m
y ' = m
f(x) = -1/2 x^3 + 3/2x + 2
f '(x) = -3/2 x^2 + 3/2
Berühren heisst : Funktionswert und Steigung gleich im Berührungspunkt B(xB|yB)
m = -3/2 xB^2 + 3/2
m - 3/2 = - 3/2 xB^2
m = 3/2 - 3/2 xB^2
yB = -1/2 xB^3 + 3/2xB + 2 = mxB + 5 - 2m
m einsetzen (rechter Teil)
-1/2 xB^3 + 3/2xB + 2 = (3/2 - 3/2 xB^2) xB + 5 - 2(3/2 - 3/2 xB^2)
-1/2 xB^3 + 3/2xB + 2 = 3/2 xB - 3/2 xB^3 + 5 - 3 + 3 xB^2
xB^3 - 3xB^2 = 0
xB^2(xB-3) = 0
2 Lösungen: xB1 = 0 und xB2 = 3.
Nun zu beiden noch yB und m und q berechnen
1. Lösung: xB1 = 0, m1 = 3/2, t: yB1= -1/2 xB1^3 + 3/2xB1 + 2 = 2, q1 = 5-2m1 = 2
t1: y = 3/2x + 2, P1(0|2)
2. Lösung: xB2 = 3, m2 = 3/2 - 3/2 * 9 = -12, t: yB2= -1/2 *3^3 + 3/2 *3 + 2 = -7, q2 = 5-2m2 = 29
t2: y = -12x + 29, P2(3|-7)
Kontrolle und allfällige Korrektur nach Skizze mit Funktionsplotter:
Scheint zu passen.
Nr2.
Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden Tangenten an den Graphen von f mit f(x)= 1/8x³mal(x+4), die durch P(2/6) gehen.
Das geht nun vom Prinzip her wieder gleich. Rechne einfach mit f(x) = 1/8 x^4 + 1/2 x, damit die Ableitung richtig rauskommt. Versuch das mal.
Anmerkung: Du hattest da noch das Stichwort 'Normalen'. Das hat aber mit dieser Aufgabenstellung nichts zu tun (?)
