Wie lang ist die Strecke PQa? Bestimmen Sie a so, dass die Länge von PQa minimal ist.

Question

ich brauch ich hier mal Hilfe bei der Aufgabe:

Wie lang ist die Strecke PQa? Bestimmen Sie a so, das die Länge von PQa minimal ist. 

Alle Punkte Qa liegen auf der Geraden: x= (-2|4|0)+t(0|2|1)

P hat die Koordinaten (-5|1|-3)

Qa hat die Koordinaten (-2|2a|a-2)

Comments

P liegt auf der Geraden x= (-5|1|-1)+k(2|-1|2)

Answer 1

Wie lang ist die Strecke PQa? Bestimmen Sie a so, das die Länge von PQa minimal ist. 

Alle Punkte Qa liegen auf der Geraden: x= (-2|4|0)+t(0|2|1)

P hat die Koordinaten (-5|1|-3)

Qa hat die Koordinaten (-2|2a|a-2)

wenn Qa auf dieser Geraden liegt, ist

(-2|2a|a-2) = (-2|4|0)+t(0|2|1)

2a = 4 +2t   und   a-2 = t

also

2a = 4 +2(a-2)

0 = 0    Also bedeuten

Alle Punkte Qa liegen auf der Geraden: x= (-2|4|0)+t(0|2|1)

und  Qa hat die Koordinaten (-2|2a|a-2)  das gleiche.

Und

P hat die Koordinaten (-5|1|-3)

Qa hat die Koordinaten (-2|2a|a-2)
heißt: Der Vektor PQa ist
( 3 | 2a-1 | a+1)

Länge der Strecke ist dann

wurzel( 9 +(2a-1)^2 + (a+1)^2 ) = wurzel(5a^2 - 2a +11 )

das hat die Ableitung

1 / wurzel(5a^2 - 2a +11 )    *   (10a - 2 )

also Abl. = 0 für a=0,2 

Für dieses a ist die Länge minimal.

Comments

cool. Danke für die Hilfe. Ich habe noch einen kleinen Schreibfehler gefunden bei dir. Bei der ersten Ableitung muss stehen im Nenner 1 / 2 * wurzel(5a² - 2a +11 )    *   (10a - 2 ) und dann kann ich den Term in Zähler noch zu 5a-1 kürzen. 

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Prima, da haben wir uns ja gut ergänzt.

Answer 2

Die Punkte X(x₁|x₂|x₃) und Y(y₁|y₂|y₃) haben zueinander den Abstand

d = √((y₁-x₁)²+(y₂-x₂)²+(y₃-x₃)²).

Setze P und Qa für X und Y ein, fasse den entstehenden Term als Funktionsterm mit Variable a auf und berechne mit Mitteln der Analysis das Minimum dieser Funktion.