bestimmen sie die erste und zweite Ableitung der Funktion f(x)=x^2/(x-1)

Question

ich habe ein Problem mit der Ableitung der folgenden Funktion.

f(x)=x²/(X-1)

ich würde die ableitung mit Hilfe der Quotientenregel ableiten.

dann wäre u*v´-u´*v/(v)²

in meinem Fall:

x² * -1 * 2x * (x-1)/(x-1)²
aber wie kann ich diesen term jezt noch vereinfachen?


jessi

Comments

f(x)=x²/(X-1)
Forme zum Produkt um
f ( x ) = x^2 * ( x-1 )^{-1}
f ´( x )  = 2 * x *  ( x-1 )^{-1} + x^2 * (-1) * ( x-1 )^{-2}
f ´( x ) = [ 2 * x * ( x - 1) - x^2 ] / ( x -1 )^2
f ´( x ) = [ 2 * x^2  - 2x  - x^2 ] / ( x -1 )^2
f ´( x ) = [ x^2  - 2x ] / ( x -1 )^2

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Die Umformung \(f(x)=\dfrac1{x-1}+x+1\) macht's vielleicht etwas einfacher.

Answer 1

ich habe erhalten:

y'= (2 x(x-1) -x^2)/(x-1)^2

y'= (2 x^2 -2x -x^2/(x-1)^2

y'=(x^2 -2x)/(x-2)^2

y'=(x(x-2))/(x-2)^2

Comments

Ok danke für die Antwort aber ich habe aber noch nicht alles verstanden. Vielleicht könntest du noch mal helfen?

(2x²-2x-x²)/(x-1) Bis dahin ist jetzt alles klar.

Aber wie wird daraus jetzt (x²-2x)/(x-2)² warum verändert sich denn jetzt auch der Nenner ?

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Es muß stehen:

=(2 x^2 -2x -x^2)/((x-1)^2

->2 x^2 -x^2=x^2 , der Nenner muß zum Quadrat stehen , wegen v^2 , also :(x-1)^2 , das x-2 war ein Abschreibfehler, davor stand es ja richtig.

=( x^2 -2x)/((x-1)^2

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Ok dann habe ich es jetzt auch verstanden. Wie muss es denn jetzt bei der 2. Ableitung sein? 

Also die Ableitung von x²-2x/(x-1)²

Ich habe also jetzt wieder u und v 

U=x²-2x 

u'=2x-2

v=(x-1)²

v'=2x-2

Dann hätte ich 

X²-2x * 2x-2 - 2x-2 * (x-1)²

Muss ich jetzt ausmultiplizieren?

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habs mal gerechnet . Schau es Dir in R uhe an.

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Hier sind Fehler vorhanden und es fehlt einiges

u=x²-2x 

u'=2x-2

v=(x-1)²

v'=2x-2

v^2 = ( x -1 )^4

f ´( x ) = ( u ´ * v - u * v ´ ) / v^2

[ ( 2x - 2 ) * ( x -1 )^2  - ( x^2 - 2x ) * ( x - 1 ) *2  ] / ( x -1 )^4 |  ( x - 1 ) kürzen
[ ( 2x - 2 ) * ( x - 1 ) - ( x^2 - 2x ) * 2 ] / ( x -1 ) ^3]
[  2x^2 - 2x  - 2x + 2  - ( 2x^2 - 4x ) ] / ( x - 1 )^3
[  2x^2 - 4x   + 2  - 2x^2 + 4x ] / ( x - 1 )^3
2  / ( x -1)^3

Merke dir diese Formel
f ´( x ) = ( u ´ * v - u * v ´ ) / v^2
( die hast du nämlich verdreht )

Hier ( weil es die 2.Ableitung ist )
f ´´ ( x  )= 2  / ( x -1)^3

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ich hatte schon vor 42 Minuten geantwortet :-)

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Hallo Großer Löwe,

nichts für ungut, aber deine Antwort war noch nicht
eingestellt als ich begann eine Antwort zu schreiben.

Als ich dann meine Antwort abgeschickt habe war deine
Antwort erst für mich sichtbar.

Ein klarer Fall von zeitlicher Überschneidung.

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Alles klar

ok

:-)