Integral. Fläche zwischen Parabel und ihren Tangenten in den Nullstellen.

Question

Welchen Inhalt hat die Fläche zwischen das Flächenstück, das die Parabel 

p: y= 3x -x² mit ihren Tangenten in den Nullstellen einschliesst?

Lösung: 2.25

Kann mir jemand bitte diese Aufgabe Schritt für Schritt erklären?

Comments

Ich denke, einer deiner Exponenten ist falsch, sonst ergibt sich f(x) = 2x²

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Stimmt. Es wäre y= 3x-x²

Könnten Sie mir bitte  weiterhelfen?

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Habe die Exponenten oben korrigiert.

Hast du die Nullstellen und die Tangentengleichungen bereits? 

y= 3x-x²

y = x(3-x)

==> Nullstellen sind x1 = 0 und x2 = 3.

y' = 3 - 2x

Steigung in x1 ist 3-0 = 3

Steigung in x2 ist 3 - 6 = -3

Aus Symmetriegründen sind beide Ergebnisse (bis auf das Vorzeichen) gleich. 

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Nein noch nicht. Mein Problem ist, dass ich nicht weiss wie ich bei der ganzen Aufgabe vorgehen muss. Danke fürs helfen!☺

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Nullstellen habe ich dir oben schon mal ausgerechnet.

Das beste ist natürlich dann erst mal eine Skizze.

~plot~3x-x^2 ; 3x; -3x+9; x=1.5~plot~

Die Lila-Linie teilt dein Flächenstück symmetrisch.

Es genügt somit, wenn du das linke Stück berechnest und dann das Resultat mit 2 multiplizierst. 

Anmerkung: Setze im linken Stück einen Punkt P(1 | 2.5). Der liegt im Flächenstück, das gemeint ist, und das du dann noch ausmalen kannst. 

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Hier einmal der wesentliche Berechnungsweg



Vom rechten Teil kommt nocheinmal dieselbe Fläche hinzu.

A = 2.25

Answer 1

f(x) = 3x -x² = x • (3 - x) -> Nullstellen x = 0 und x = 3 in den Punkten P(0|0) und Q(3|0)

f ' (x) = 3 - 2x

Die Tangenten in den Punkten P und Q haben die Steigungen m_P = f '(0) = 3 und m_Q = f '(3) = -3 

Mit der Punkt-Steigungs-Formel kann man die Gleichung einer Geraden ausrechen, die die Steigung m hat und durch den Punkt (x₁|y₁) geht:

 y = m • (x - x₁) + y₁ 

für unsere Tangenten heißt das:

t₁:  y = 3•(x-0)+0 -> y = 3x

t₂:  y = -3•(x-3)+0 ->  y = -3x + 9

Aus Symmetriegründen schneiden sich die Tangenten bei x = 1,5 und sie verlaufen oberhalb der Parabel.

Daher ergibt sich für die gesuchte Fläche A = 2 • ∫₀^1,5 (3x - (3x-x²) dx = 2 • ∫₀^1,5 x² dx

= 2 • [ 1/3 x³ ]₀^1,5 = 2 • ( 1,125 - 0) = 2,25

Comments

Ich verstehe diesen Schritt nicht ganz, wie man darauf kommt:

Daher ergibt sich für die gesuchte Fläche A = 2 • ∫₀^1,5 (3x - (3x-x²) dx = 2 • ∫₀^1,5 x² dx

= 2 • [ 1/3 x³ ]₀^1,5 = 2 • ( 1,125 - 0) = 2,25

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was genau verstehst du denn daran nicht ?

Ist dieser Ausdruck klar ?

A = 2 • ∫₀^1,5 (3x - (3x-x²) dx

Die Fläche ergibt sich aus zwei mal dem Flächeninhalt zwischen den Graphen 3x und 3x - x^2 in den Grenzen von 0 bis 1.5

Vergleiche dazu auch die gemachten Skizzen.

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Mir ist dieser Ausdruck klar. Ich verstehe einfach nicht wie man auf 3x kommt

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y = 3x ist die Tangente an der Nullstelle zu x = 0

Siehe das auch in der Skizze.

Answer 2

f(x) = 3·x - x^2 = x·(3 - x)

Nullstellen f(x) = 0

x·(3 - x) = 0

x = 0 oder x = 3

Tangenten an den Nullstellen

t1(x) = f'(0) * (x - 0) + f(0) = 3·x

t2(x) = f'(3) * (x - 3) + f(3) = 9 - 3·x

Schnittstelle der Tangenten t1(x) = t2(x) 

3·x = 9 - 3·x --> x = 1.5

Fläche

A1 = ∫ (0 bis 1.5) ((3·x) - (3·x - x^2)) = 9/8

Aufgrund der Symmetrie

A = 2 · 9/8 = 18/8 = 2.25

Skizze