Integral Fläche berechnen zwischen f(x)= -2x^2+10 und g(x)=2(x-1)^2

Question

Bestimmen Sie nachvollziehbar die Größe der Fläche welche von den Graphen der Funktion f(x)=-2x+10 und

EDIT (Lu): Gemäss Kommentar f(x)= -2x²+10 

g(x)=2(x-1)²   begrenzt ist.

Ich weiß nicht wie das geht, geschweige denn wir man auf die Grenzen kommt.  Kann mir einer helfen + den Rechenweg wie man auf die Grenzen kommt.

Danke :)

Answer 1

f(x) = - 2·x + 10

g(x) = 2·(x - 1)^2 = 2·x^2 - 4·x + 2

Differenzfunktion bilden und integrieren

d(x) = f(x) - g(x) = (- 2·x + 10) - (2·x^2 - 4·x + 2) = - 2·x^2 + 2·x + 8

D(x) = - 2/3·x^3 + x^2 + 8·x

Integrationsgrenzen d(x) = 0

- 2·x^2 + 2·x + 8 = 0

x = 1/2 ± √17/2

Integral in den Grenzen

D(1/2 + √17/2) - D(1/2 - √17/2) = (17/6·√17 + 25/6) - (25/6 - 17/6·√17) = 17/3·√17 = 23.36 FE

Comments

Oh eine sorry, hab die Aufgabe falsch geschrieben. F(x)= -2x²+10

Jetzt stimmts :/

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Das wird natürlich ähnlich gerechnet

d(x) = (- 2·x^2 + 10) - 2·(x - 1)^2 = - 4·x^2 + 4·x + 8

D(x) = - 4/3·x^3 + 2·x^2 + 8·x

Integrationsgrenzen d(x) = 0

x = 2 ∨ x = -1

Integral

D(2) - D(-1) = 18 FE

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Sind die Grenzen  2 und -1 ?

Warum kommt bei mir was anderes raus :(

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Das weiß ich nicht. Zeichne doch mal die Funktionen oder prüfe wenn du deine Lösungen einsetzt.

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Wie rechnest dus denn ohne Grenzen aus. Kappier ich nicht :(

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Ansatz

- 4·x² + 4·x + 8 = 0

Das ist eine quadratische Gleichung. Die solltest du lösen können. 

Ansonsten schreib mal deine Rechnung.

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= (-2x²+10)-(2x²-4x+2)

= -4x²+4x+8

= ∫²_{-1. (-4x}²+_{4x+8) * dx}

₌(-4* 1/3x³+4*1/2x²+8x)

Grenzen einsetzen:

= (-4*1/3*2³+4*1/2*+8*2)-(-4*1/3*(-1)³+4*1/2*(-1)²+8*(-1))

= 18FE

Aber dafür brauch ich die Grenzen. Hab  sie jetzt von einer Freundin bekommen, weiß aber nicht wie man drauf kommt.

So haben wirs in der Schule gelernt, darum verstehe ich nicht wie du das ohne Grenzen machst.

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18 ist richtig. Vgl. https://www.wolframalpha.com/input/?i=area+between+f%28x%29%3D+-2x%5E2%2B10+and+g%28x%29%3D2%28x-1%29%5E2+

Die Grenzen zu berechnen hast du sicher auch mal gelernt (quadratische Gleichung lösen).

https://www.wolframalpha.com/input/?i=-2x%5E2%2B10+%3D2%28x-1%29%5E2+

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Mathecoach rechnet die Grenzen doch oben aus:

Integrationsgrenzen d(x) = 0

x = 2 ∨ x = -1

Er bildet die DIfferenzfunktion und setzt diese dann Null. Dabei kommen die Grenzen 2 und -1 heraus.

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Ich brauch den Rechenweg dafür, sonst kann ich es nicht nachvollziehen.

Haben wir auch gelernt ist aber so lange her, dass ich mich nicht erinnern kann.

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d(x) = -4x^2 + 4x + 8 = 0    |/-4

x^2 - x -2 = 0   |jetzt die PQ-Formel verwenden (Normalform: x^2 + px + q = 0 liegt bereits vor)

x_1/2 = 1/2 ± √((1/2)²+2)

= 1/2 ± √2,25

x₁ = 1/2 + 1,5 = 2

x₂ = 1/2 - 1,5 = -1

Alles klar?

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Soweit kapier aber wie kommst du auf 1/2 ?

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Schau mal hier:

https://www.matheretter.de/rechner/quadratische-gleichung?a=-4&b=4&c=8&d=0

https://www.matheretter.de/rechner/quadratische-gleichung?a=-4&b=4&c=8&d=0

Formelsammlung Seite: https://www.matheretter.de/rechner/quadratische-gleichung

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Schau dir mal die PQ-Formel an. Da steht:

x_1/2 = -(p/2) ± √((p/2)²-q)

Da p= -1 ist schreibt man für -p/2 dann -(-1/2) und das ist dann 1/2.

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Oh stimmt.Ich danke euch allen. Super super lieb von euch :)

Answer 2

erst mal Gleichsetzen für die Grenzen:

-2x+10 = 2*(x-1)^2
-2x +10 = 2( x^2 - 2x + 1)
-2x+10= 2x^2 - 4x + 2
0 = 2x^2 -2x - 8
0 = x^2 - x - 4
gibt mit pq-Formel oder quadr, ergänzung
x= 2,56  oder   x= -1,56

Da die Parabel nach oben geöffnet ist, liegt die
Gerade im Schnittbereich oberhalb der Parabel, also
ist die Fläche
Integral von -1,56 bis 2,56 über f(x) - g(x)
und das gibt etwa 23,4

Comments

Hab die Aufgabe falsch geschrieben, f(x)= -2x^2+10 

So stimmts :/ 

Answer 3

f(x)=-2x+10 und
g(x)=2(x-1)²   begrenzt ist.

Eine Grafik ist meist hilfreich. Hier mit Hilfe eines
Funktionsplotters.

~plot~ -2*x + 10 ; 2 * ( x-1)^2 ; [[ -5 | 5 | 0 | 20 ]] ~plot~

Schnittpunkte
f ( x ) = g ( x )
-2*x + 10 = 2 * ( x-1)^2
-2*x + 10 = 2 * ( x^2 - 2 x + 1 ) | : 2
-x + 5 = x^2 - 2x + 1
x^2 -x = 4  | pq Formel oder quadratische Ergänzung
x^2 - x + (1/2)^2 = 16 / 4 + 1/4
( x - 1/2 )^2 = 17 /4  < Wurzelziehen
x - 1/2 = ± 2.06

x = 2.56
und
x = -1.56

Differenzfunktion bilden

d ( x ) = f ( x ) - g ( x )
d ( x ) = -2*x + 10 - ( 2 * ( x-1)^2 )
d ( x ) = -2*x + 10 - 2 * ( x^2 - 2x + 1)
d ( x ) = -2*x + 10 - 2 x^2 + 4x - 2
d ( x ) = - 2 * x^2 + 2 x + 8

∫ - 2 * x^2 + 2 x + 8 dx
-2 * x^3 / 3 + 2 * x^2 / 2 + 8 * x
-2/3 * x^3 + x^2 + 8 * x

[  -2/3 * x^3 + x^2 + 8 * x ]_-1.56^2.56
23.36

Comments

Oh eine sorry, hab die Aufgabe falsch geschrieben. F(x)= -2x²+10 

Die Vorgehensweise der Berechnung kennst du ja jetzt.
Dann versuch es selbst einmal.

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Ich weiß immer noch nicht wie ich auf die Grenzen komme :/

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Kommt 42 raus ?

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Gleichsetzen gibt dann

-2x^2 + 10 = 2 (x-1)^2

-2x^2 + 10 = 2 (x^2 - 2x + 1)

-2x^2 + 10 = 2 x^2 - 4x + 2

-4x^2 +4x + 8 = 0   | : -4

x^2 - x -  2 = 0  jetzt mit pq-Formel oder quadr. ergänzung

gibt  x=-1 oder x=2

und dann:

Da die Parabel von g nach oben geöffnet ist, liegt sie
unterhalb der Parabel von f also
ist die Fläche
Integral von -1 bis 2 über f(x) - g(x)
und das gibt 16.