Was ergibt alternierende Summe von Binomialkoeffizienten.Beweisen Sie ihr Ergebnis

Question

Was ergibt      _k=0∑ⁿ (-1)^k * ( n! / (k!*(n-k)!))

Beweisen Sie Ihr Ergebnis

Bitte brauche eure Hilfe blicke da nicht durch

Comments

EDIT: Habe eine Klammer um den vermuteten Nenner ergänzt.

Das ist dann die alternierende Summe von Binomialkoeffizienten in jeweils einer Zeile des Pascaldreiecks. Das gibt vermutlich immer 0 (entweder man denkt das oder rechnet erst mal für n=1, n=2, n=3, n=4... die Summe aus, bis man die Vermutung hat).

Die Verankerung ist so auch schon gemacht und du machst noch einen Induktionsschritt.

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Bitte. Gern geschehen.

Via "ähnliche Fragen" bin ich gerade noch auf einen schönen direkten Beweis gestossen: https://www.mathelounge.de/60643/binomialkoeffizienten-beweise-summe-von-n-tief-k-1-k-gibt-0

Du sollst aber offenbar Induktion üben.

Answer 1

Hi,

Es gilt $$ (p+q)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} p^k q^{n-k}  $$ nach der binomischen Formel. Wähle jetzt \( p = -1 \) und \( q = 1 \) dann folgt

$$ 0 = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k $$