Funktion Skizzieren wie genau vorgehen? 1/(x^2-1)

Question

   Kann mir jemand bitte ein Grundrezept dafür geben? wie gehe ich genau vor um solche Funktionen zu zeichnen?

Ich dachte das nur eine Wertetabelle ausreicht.

ich mache eine von -4 bis 4 dann erhalte ich die Punkte für die annäherung auf der x Achse und einen auf der Y-Achse bei -1. Wie aber kommt man darauf das der Punkt auf der Y-Achse mit einer Parabel nach unten schaut und die auf der x-Achse nach oben geöffnet sind bzw. ins unendliche gehen

Answer 1

Bei einer solchen gebrochenrationalen Funktion sollte man immer zunächst die Definitionslücken untersuchen.

Um die zunächst mal herauszufinden, setzt man einfach den Nenner gleich 0. Also:

x² - 1 = 0
x² = 1
x = 1   ∨   x = -1

Die Definitionslücken liegen also bei x = 1 und x = -1.

Als Nächstes untersucht man dann am besten das Verhalten der Funktion, wenn sie sich von links und von rechts jeweils den beiden Definitionslücken nähert, einfach mit einer Grenzwertbetrachtung mit limes. Dabei sollte sich dann herausstellen, dass sie bei x = -1 von links ins Unendliche läuft, von rechts ins negative Unendliche, und bei x = 1 genau andersherum, wie es eben auch in der Zeichnung zu sehen ist.

Dieselbe Grenzwertbetrachtung kann man dann auch noch für x → ∞ und x → - ∞ durchführen, dann hat man schon mal einen Großteil vom Aussehen der Funktion erarbeitet.

Wenn man sehr genau sein möchte, kann man dann natürlich auch noch die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen der Funktion (letztere mittels Ableitungen) berechnen. Aber das Verhalten an den Definitionslücken und im Unendlichen ist bei einer solchen Funktion wohl das Allerwichtigste. :)