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Aufgabe:

Folgende Menge skizzieren und in Polarkoordinaten umwandeln

\( A=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}\left|x^{2} \leq 9-y^{2}, y \geq\right| x \mid\right\} \)


Problem/Ansatz:

Hallo,

ich versuche grade, die obige Menge zu skizzieren.

Dafür habe ich x^2 <= 9 - y^2 zu x + y <= 3 umgeformt.

Zeichne ich das in ein x,y,z Diagramm ein, erhalte ich eine Kreisscheibe um die Punkte -3 & 3 für x & y.

Nun bin ich aber durch die Bedingung y >= |x| verwirrt. Wenn ich den Punkt x=-3 wähle würde die Bedingung hergeben: y >= |-3| <=> y >= 3. Es ergebe sich also ein Punkt (-3 | y >= 3). Da x+y <= 3 sein soll also (-3 | 3).

Ich verstehe nicht, wie ich das aufzeichnen kann.

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Zunächst solltest Du Dir klar machen  welche Regeln Du für Deine erste Umformung verwenden willst. Diese ist nämlich falsch. Oder hast Du Dich nur verschrieben?

Ich habe gerechnet

x^2 <= 9 - y^2    |+ y^2

x^2 + y^2 <= 9   | Wurzel

x + y <= 3

Im allgemeinen ist (x+y)² = x²+2xy+y² ≠ x²+y²

x2 + y2 <= 9  | Wurzel

Das ergibt

        \(\sqrt{x^2+y^2} \leq \sqrt 9\)

x + y <= 3

Es gibt keine Regel, die es dir erlaubt, \(\sqrt{x^2+y^2}\) zu \(x+y\) umzuformen.

Zum Beispiel \(x = 1,y=1\). Dann ist

        \(\sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}\),

aber

        \(x+y=1+1=2\neq \sqrt{2}\).

1 Antwort

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Dafür habe ich x2 <= 9 - y2 zu x + y <= 3 umgeformt.

Die Umformung ist nicht korrekt, wie du durch Einsetzen von \(x=2\), \(y = 2\) feststellen kannst.

Die Ungleichung \(x^2 \leq 9 - y^2\) beschreibt eine Kreisscheibe mit Mittelpunkt \((0|0)\) und Radius \(3\).

Das ergibt sich aus dem Satz des Pythagoras. Die Ungleichung kann umgeformt werden zu

        \(x^2 + y^2 \leq 3^2\).

Dabei ist \(x^2 + y^2\) das Quadrat des Abstandes des Punktes \((x|y)\) zum Ursprung.

Zeichne ich das in ein x,y,z Diagramm ein

Die Menge \(A\) ist Teilmenge von \(\mathbb{R}^2\), nicht von \(\mathbb{R}^3\). Es gibt also keine \(z\)-Achse.

Nun bin ich aber durch die Bedingung y >= |x| verwirrt.

Fall 1. \(x > 0\). Dann lautet die Bedingung \(y \geq x\). Zeichne den Strahl \(y = x\) für \(x > 0\) ein. Entscheide dann, ob die Punkte oberhalb oder unterhalb des Strahls zu \(A\) gehören.

Fall 2. \(x < 0\). Dann lautet die Bedingung \(y \geq -x\). Zeichne den Strahl \(y = -x\) für \(x < 0\) ein. Entscheide dann, ob die Punkte oberhalb oder unterhalb des Strahls zu \(A\) gehören.

Avatar von 105 k 🚀

Ich glaube ich verstehe..

Es sollten logischerweise nur die Punkte oberhalb des Strahls angenommen werden können, darunter wäre die Bedingung y >= |x| nicht mehr erfüllt da dort |x| > y gilt.

Ich kriege also einen viertel Kreis der vom Nullpunkt mit dem Radius 3 zwischen y = -x & y = x begrenzt wird.

Ich danke dir Oswald!

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