Das ist eine typische Extremwertaufgabe. Es geht darum, eine bestimmte Größe (in dem Fall das Volumen) zu maximieren und hat dafür noch andere Nebenbedingungen gegeben. Man muss diese so umstellen, dass man alles durch eine einzige Variable ausdrücken kann, um dann eine Extremwertfunktion zu bilden. Von dieser Funktion berechnet man dann die Extremstellen, womit die Aufgabe gelöst ist.
Hier erst mal eine Skizze (die Verhältnisse sind jetzt nicht wirklich DIN-A4-mäßig, aber es soll ja nur der Veranschaulichung dienen):
Also, was ist gesucht? Das maximale Volumen. Die Zielfunktion lautet also:
V = a * b * c
Nun haben wir noch 2 Nebenbedingungen: Die Breite des Netzes darf maximal 21 cm betragen, die Höhe 29,7. Diese beiden Bedingungen stellen wir dann einmal nach b und einmal nach c um:
2a + b = 21 | - 2a
b = 21 - 2a
2a + 2c = 29,7 | - 2a
2c = 29,7 - 2a | ÷ 2
c = 14,85 - a
Nun können wir diese Terme in unsere Zielfunktion einsetzen und erhalten eine fertige Extremwertfunktion mit nur noch einer Variable, nämlich a:
V(a) = a * (21 - 2a) * (14,85 - a)
V(a) = a * (311,85 - 50,7a + 2a²)
V(a) = 311,85a - 50,7a² + 2a³
V(a) = 2a³ - 50,7a² + 311,85a
Um jetzt die Extremstellen zu finden, benötigen wir die ersten beiden Ableitungen:
V'(a) = 6a² - 101,4a + 311,85
V''(a) = 12a - 101,4
Nun folgt die notwendige Bedingung: erste Ableitung gleich 0 setzen. Damit erhalten wir die Extremstellen der Funktion.
0 = 6a² - 101,4a + 311,85 | ÷ 6
0 = a² - 16,9a + 51,975 | pq-Formel
a ≈ 12,858 ∨ a ≈ 4,042
Nun ist ja eigentlich schon logisch, dass 12,858 für a nicht in Frage kommt, denn die Bedingung 2a + b = 21 wäre dann nicht mehr erfüllbar. Dennoch schreib ich zur Absicherung auch noch mal die hinreichende Bedingung für die Extremstellen auf. Man setzt die Werte in die zweite Ableitung ein und prüft, ob das Ergebnis <, = oder > 0 ist. Davon hängt ab, ob es sich um einen Tiefpunkt oder Hochpunkt handelt, sprich, um ein Minimum oder Maximum (wir suchen ja ein Maximum).
v''(12,858) = 52,896 > 0 → Tiefpunkt
v''(4,042) = -52,896 < 0 → Hochpunkt
Also ist unser gesuchtes a für das maximale Volumen ca. 4,042. Jetzt können wir auch noch die anderen beiden Längen b und c ausrechnen:
b = 21 - 2a
b ≈ 21 - 2 * 4,042
b ≈ 12,916
c = 14,85 - a
c ≈ 14,85 - 4,042
c ≈ 10,808
Und das maximale Volumen, welches mit diesen Längen entsteht, können wir auch noch ausrechnen:
V = a * b * c
V ≈ 4,042 * 12,916 * 10,808
V ≈ 564,248
Die Längen sollten also a ≈ 4,042 cm, b ≈ 12,916 cm und c ≈ 10,808 cm betragen. Das maximale Volumen ist dann etwa 564,248 cm³ groß. :)
