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wir fangen in der Schule ein neues Thema an. Nach der allgemeinen Kurvendiskussion mit irgendwelchen Funktionen wollen wir diese Kurvendiskussion jetzt praktisch anwenden.

Wir haben zuerst aus einem DIN-A4-Blatt einige Schachteln gebaut und bemerkt, dass diese je nach SeitenlÀnge unterschiedliche Volumina aufweisen. Wir haben somit die Volumenformel allgemein mit x, statt einem Wert aufgeschrieben, sodass eine Funktion entsteht. Durch den Extremwert (xhp) sollten wir dann die SeitenlÀnge x bestimmen, die das maximale Volumen ergibt:

Vx = x(29-2x)(21-2x)

Als Funktion:

f(x)=x(609-58x-42x+4x^2)

f(x)=4x^3 - 100x^2 + 609x


Extremwerte mit f'(x)=12x^2-200x+609 -> xe1=12,662 und xe2=4,008

PrĂŒfung auf HP/TP -> xhp = xe2 = 4,008


Die perfekte SeitenlÀnge ist x=4,008cm

_____________________

Ich habe dann das Volumen mit diesem x-Wert berechnet und es kam das höchste Volumen heraus, ein minimal kleinerer/höherer Wert ergab je ein kleineres Volumen.


Ich verstehe wohl, dass ich dieses Volumen als Funktion nehmen kann und dann die Kurvendiskussion damit ausfĂŒhren kann, aber nicht recht was die jeweiligen Ergebnisse wir sagen. Da wir jetzt Ferien haben und das Thema nur gestern angefangen haben muss ich jetzt wohl selbst recherchieren :D

Dass der Hochpunkt die optimale SeitenlĂ€nge fĂŒr ein Volumen angibt liegt denke ich daran, dass die Funktion ja ursprĂŒnglich einfach die Formel fĂŒr die Berechnung war, also gibt ihr Verlauf einfach das Volumen (y) mit steigender SeitenlĂ€nge (x) an. Was aber wĂŒrde mir z.B. ein Wendepunkt o.Ă€. bringen? Tiefpunkt kann ich mir denken, denn wenn der Hochpunkt das höchste Volumen zeigt, dann der Tiefpunkt wohl das geringste..

von

3 Antworten

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deine AusfĂŒhrungen zum maximalen Volumen sind richtig. Als Formel fĂŒr das Volumen hat  V(x) = 4x3 - 100x2 + 609x  jedoch nur fĂŒr positive Werte von V(x) mit x∈ ] 0 ; 10,5 [ einen Sinn. Das minimale "Volumen" ist 0. Es ergibt sich fĂŒr die Randstellen des Intervalls.  Der Tief- und die Wendepunkte der Funktion haben in diesem Zusammenhang keine Bedeutung.

Gruß Wolfgang

von 86 k 🚀

Die Wendestelle ist die Stelle an der das Volumen mit jeder minimalen Erhöhung von x am stÀrksten abnimmt.

Ber Extremwertaufgaben sind allerdings eigentlich nur die Extremwerte interessant, weshalb Wendestellen meist nicht untersucht werden.

Hier noch eine Skizze des Graphens. Man sieht den Definitionsbereich von 0 bis 10.5 an deren RĂ€ndern das Volumen 0 wird recht gut. Auch das Maximum bei ca. 4 sieht man sehr gut.

~plot~ 4*x^3-100*x^2+609*x;[[0|11|0|1200]] ~plot~

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 Da wir jetzt Ferien haben und das Thema nur gestern angefangen haben muss ich jetzt wohl selbst recherchieren :D

Schau wenn möglich in eines der gebrĂ€uchlichen AnalysisbĂŒcher, das bei den Anwendungen alle Themenbereiche abdeckt. Du kannst auch auf deinen Tag Extremwertaufgaben klicken, findest dort aber vor allem Aufgaben, die den Leuten Probleme machten - und die teilweise auch falsch getaggt sind.

Dass der Hochpunkt die optimale SeitenlĂ€nge fĂŒr ein Volumen angibt liegt denke ich daran, dass die Funktion ja ursprĂŒnglich einfach die Formel fĂŒr die Berechnung war, also gibt ihr Verlauf einfach das Volumen (y) mit steigender SeitenlĂ€nge (x) an. 

Das ist richtig.

Was aber wĂŒrde mir z.B. ein Wendepunkt o.Ă€. bringen? 

Dort hast du eine extreme (maximale oder minimale) momentane Änderung der Funktionswerte. D.h. fĂŒr den Graphen maximale oder minimale Steigung (in Anwendungen im st-Diagramm z.B. max. oder min. Geschwindigkeit)

Tiefpunkt kann ich mir denken, denn wenn der Hochpunkt das höchste Volumen zeigt, dann der Tiefpunkt wohl das geringste.. 

Das ist wiederum richtig. Vorausgesetzt, es ist realistisch. In Anwendungen, kann es vorkommen, dass z.B. bei einer Schachtel x so rauskommt, dass eine SeitenlÀnge neg. wird. Da sind dann die Definitionsbereiche wichtig.

von 162 k 🚀
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"Dass der Hochpunkt die optimale SeitenlĂ€nge fĂŒr ein Volumen angibt liegt denke ich daran, dass die Funktion ja ursprĂŒnglich einfach die Formel fĂŒr die Berechnung war, also gibt ihr Verlauf einfach das Volumen (y) mit steigender SeitenlĂ€nge (x) an."

Ich versuche mal, das Ganze in meinen Worten auszudrĂŒcken: Aus dem DIN-A4-Blatt wird an jeder Ecke ein Quadrat mit der KantenlĂ€nge x herausgeschnitten. Die Volumenformel V(x) = x(29-2x)(21-2x) ordnet jedem x ein Volumen der entstandenen (nach oben offenen) Schachtel zu. Das Maximum dieser Funktion nennt dasjenige x, das herausgeschnitten werden muss, damit die Schachtel ein maximalesVolumen hat. Minimum und Wendepunkt sind hier uninteressant. x ist nicht irgendeine SeitenlĂ€nge der Schachtel.

von 114 k 🚀

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