Ich denke bei den ersten 2 ist es die Existenz eines Negativen bei den anderen sehe ich aber nicht welches Axiom man nehmen könnte.
Existenz des Negativen reicht nicht ganz, denn die Gleichung
- ( x+y) = -x - y heißt ja in Worten:
Das Negative von x+y ist die Summe der Negativa von x und von y.
Denn a - b habt ihr ja vermutlich durch a + ( -b) definiert.
Also musst du zeigen:
Das Negative von x+y ist die Summe der Negativa von x und von y.
Das Negative von x+y ist aber definiert, als dasjenige Element, das zu x+y
addiert 0 ergibt. Die Behauptung ist, dieses sei -x -y . Also musst du prüfen,
ob das stimmt. Etwa so:
( x+y) + ( -x - y) = ( x+y ) + ( -x + (- y) ) [ Definition der Subtraktion]
= (( x+y ) + ( -x) ) + (- y) ) Assoziativität von +
= (( y+x ) + ( -x) ) + (- y) ) Kommutativ. von +
= ( y+ (x + ( -x) ) + (- y) ) wieder assoz.
= ( y + 0 ) + (-y) Eigenschaft des Inversen
= y + (-y) Eigenschaft. des neutr. El.
= 0 Eigenschaft des Inversen.
Also in der Tat: Die Summe von x+y und -x-y ergibt 0,
und damit ist -x-y das Negative von x+y .
So wäre es jedenfalls ganz ausführlich, und nach der Aufgabenstellung
hört es sich so an, als wenn das gewünscht wäre.
