Wann sind Mengen Teilräume im R2x2

Question

dies ist mein 1. Post in diesem Forum, bitte seid also gnädig, wenn ich den Editor noch nicht gut verwenden kann.

Die Aufgabe mit der ich Probleme habe lautet:

"Entscheiden Sie, ob folgende Mengen Teilräume des R^2,2 sind:

dann sind dort verschiedene Mengen angegeben, z.B.:

M=\left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\mathbb R^2,2\ \right|\ \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=0\right\}

M=  (a b)  (das soll eine abcd Matrix sein), abcd Element von R^2,2 | det(ab) = 0

        (c d)                                                                                                                  (cd)

Auch wenn man wahrscheinlich die Aufgabe nicht gut erkennen kann (sorry), wäre es hilfreich, wenn mir jemand sagen könnte, wann Mengen Teilräume von etwas (z.B. R^2,2) sind bzw. welche Kriterien es zu beachten gilt.

Comments

Soll das \(M=\left\{\left.\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\in\mathbb R^{2,2}\ \right|\ \det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=0\right\}\) heißen?

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Ja genau, wie genau prüfe ich das?

Answer 1

Eine Menge ist ein Teilraum eines Vektorraums wenn er bezüglich der im Vektorraum definierten Operationen ein Vektorraum ist.

Glücklicherweise braucht man nicht alle Vektorraumaxiome prüfen. Es genügt zu zeigen, das die Menge nicht leer ist, und bezüglich Addition und skalarer Multiplikation abgeschlossen ist.

Comments

...und dass sie nicht leer ist.

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Ja, danke 10001000Nick1.

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Danke für die schnellen Antworten. Und wie wende ich das nun auf die Beispielsaufgabe an? Ich habe leider in Mengen noch nicht so die Erfahrung und wäre sehr dankbar, wenn ihr das an diesem Beispiel einmal zeigt. 10001000Nick1 hat mein Problem auch noch einmal schön hingeschrieben :D

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\( M\neq\emptyset \), wegen \( \det\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}=0 \).

Seien \( x,y\in M \) und \( r\in \mathbb{R}\). Prüfe ob \( \det(x+y)=0 \) ist, und ob \( \det(rx)=0 \) ist.