Question

Welche der folgenden Mengen sind ℝ-Teilräume von ℝ³, welche nicht? Beweise!

(a) {(−x, 0, y) | x, y ∈ ℝ}
(b) {(x, y) | x, y ∈ ℝ}
(c) {(a, b, c) | a, b, c ∈ ℝ, a − c = 1}
(d) {(a, b, c) | a, b, c ∈ ℝ, a + b + c = 0}

Answer 1

(a) {(−x, 0, y) | x, y ∈ ℝ}   ist der von ( 1,0,0) und (0,0,1) aufgespannte Unterraum des R^3

(b) {(x, y) | x, y ∈ ℝ}  keine Teilmenge von R^3

(c) {(a, b, c) | a, b, c ∈ ℝ, a − c = 1}  nicht abgeschlossen gegenüber +,

da (2,0,1) und (3,0,2) darin sind, aber ihre Summe nicht

(d) {(a, b, c) | a, b, c ∈ ℝ, a + b + c = 0}  ist ein Unterraum.