Jordan-Chevalley-Zerlegung

Question

Hi ich bräuchte bei folgender Aufgabe eine Schritt für Schritt Herangehensweise wobei das Ergebnis nicht wirklich wichtig ist. Schreibe bald eine Klausur und würde mir gerne die Herangehensweise verinnerlichen.

Schreiben Sie folgende Matrix als Summe einer diagonalisierbaren Matrix D und

einer nilpotenten Matrix N, fur die DN = ND gilt:

3    -4     1

1    -1    -1                = A

0    0    -2

Answer 1

1. Berechne zu \(A\) die Jordan-Normalform \(J\).

2. Zerlege die JNF \(J\) in die Summe einer Diagonalmatrix \(D_J\) und einer nilpotenten Matrix \(N_J\).

3. Berechne die Zerlegung von \(A\).

Gruß

Comments

Hi danke für deine antwort.

Also ich bekomme für die JNF

1 0 0

1 1 0

0 0 -2

Wie darf ich denn die JNF nun zerlegen? nilpotent bedeutet ja das der einzige eigenwert = 0 ist.

Nun ist D also

1 0 0

0 1 0

0 0 -2

und N

0 0 0

1 0 0

0 0 0

Bin ich dann schon fertig?

Grüße

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Hi Situ,

das passt schonmal, wobei du bisher nur die JNF zerlegt hast. Du sollst ja aber auch \(A\) zerlegen.

Was du bisher gemacht hast: \( J = D_J + N_J\), wobei \(D_JN_J = N_JD_J\).

Da \(J\) JNF ist, gibt es eind invertierbare Matrix \(S\) mit: \( A = SJS^{-1} \).

Somit ist \( A = SD_JS^{-1} + SN_JS^{-1} \).

Hatte den letzten Schritt selber vergessen oben aufzuschreiben, habe es jetzt angepasst.

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Danke habs hingekriegt :)