Ich soll die Existenz und Eindeutigkeit der folgenden DGL bestimmen und ein maximales Lösungintervall bestimmen. Mit f(0) = x0.
a) x'= x^3/2 mit x0 Element von R^+
b) x' = e^x * cos(t) mit x0 Element von R
c) x'= Wurzel(1 -x^2) / x mit 0< x0 < 1
Vermutlich mit Picard-Lindelöf. Ich verstehe jedoch die Aussage dieses Satze nicht ganz.
Was genau bedeutet |t-t0| ≤a und ||x - x0||≤b als Bedingung?
Die Funktion muss Lipschitz-stetig sein damit man den Satz anwenden kann, aber wie genau wende ich den Satz an um etwas über die Existenz und das Intervall auszusagen?
Bei a) zB:
x^3/2 ist nicht lipschitz-stetig (Ableitung hat kein Supremum). f(t,x) ist aber stetig und damit existiert eine Lösung auf einem Intervall( t0 - c, t0 + c) mit c= min{a, b/max{ || f(t,x)|| }.
Also wie bestimme ich nun a und b?
Bei b wüsste ich nicht einmal,wie ich zeige ob es Lipschitz-stetig ist.
