Negation bilden von (∀x ∈ X) : p(x) : q(x) v r(x)

Question

Stimmt meine Negation?

(∃x∈X) : ¬p(x) : ¬q(x) Λ ¬r(x)

Comments

Wofür soll der zweite Doppelpunkt stehen???

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,, Für alle Elemente x der Menge X für die p(x) gilt, gilt auch q(x) oder r(x)

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Das war mir klar, habe eben nur auf deine Frage und nicht auf deine Überschrift geschaut.

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Die Schreibweise mit den beiden Doppelpunkten ist mir suspekt. Ist das die exakte Fragestellung und dann ohne jegliche Klammerung?

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Man kann das machen, wenn man anders klammert (zumindest habe ich das so schon gelesen):
$$(\forall x\in X:p(x)):(q(x)\lor r(x)).$$
Ich finde die Schreibweise aber auch nicht so gut.

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Wo hast du diese Schreibweise gesehen? Am besten vergisst du sie wieder; das ist nämlich absoluter Unsinn.

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Bestenfalls unpraktisch und -üblich, weshalb ich sie auch nicht verwende. Aber nicht "absoluter Unsinn" - Das würde sich lesen als ,,Für alle x aus X mit der Eigenschaft p(x) gilt q(x) oder r(x).''

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Diese Schreibweise geht so nicht. Wenn du innerhalb der ersten Klammer den Quantor \(\forall x\in X\) stehen hast, dann hat das \(x\) nur innerhalb dieser Klammer eine Bedeutung. Außerhalb der Klammer macht es dann überhaupt keinen Sinn, über \(x\) zu reden.

Eine mögliche Notation für diese Aussage steht in meiner Antwort.

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Tatsache, Zeit für mich ins Bett zu gehen ;)

Answer 1

Hi,

Ich kann keinen Fehler erkennen.

Grüße Florian T. S.

Comments

Ich schon. ;-)

Answer 2

Das ist falsch; der zweite Doppelpunkt macht da überhaupt keinen Sinn.

Die Aussage, die du negieren sollst, ist: \(\forall x\in X: p(x)\Rightarrow q(x)\vee r(x)\).

Die Negation davon ist: \(\exists x\in X: \neg (p(x)\Rightarrow q(x)\vee r(x))\). Das ist gleichbedeutend mit \(\exists x\in X: p(x)\wedge \neg(q(x)\vee r(x))\) und das wiederum ist dasselbe wie \(\exists x\in X: p(x)\wedge \neg q(x)\wedge \neg r(x)\).

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okay !! vielen dank für die Hilfe
Verwirrend wenn jeder was anderes sagt ;DD

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Zumindest sagen bei dieser Frage Wanja und ich das gleiche. Das sollte die Verwirrung doch zumindest etwas abschwächen. ;-)

Answer 3

Nicht ganz, die Aussage ist ja: Für alle x, für welche p(x) gilt, gilt auch q(x) oder p(x), das heißt anders gesagt: für alle x impliziert p(x) dass eine der anderen Aussagen gilt und die Negation davon lautet, dass es ein x gibt, für welches p(x) eben nicht impliziert, dass q(x) oder r(x) gilt. Das heißt

$$ \exists x\in X: p(x) \land \neg(q(x)\lor r(x))$$

oder

$$ \exists x\in X: p(x)\land \neg q(x)\land \neg r(x).$$

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warum wird p(x) nicht negiert und alles andere schon?

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Siehe andere Frage. Schreib

$$a \Rightarrow b$$ zuerst als $$ \neg a\lor b$$ und wende dann die bekannten Regeln an.