Negation von Aussagen mittels Quantoren

Question

Aufgabe:

Negation von Aussagen mittels Quantoren

Problem/Ansatz:

Hi, brauche Hilfe bei folgender Thematik:

Schreiben Sie die Negation der folgenden Aussagen mittels Quantoren:

i) ∀ v ∈ Z ∃ w ∈ Z : v + w = 0.

ii) ∃ v ∈ Z ∀ w ∈ Z : v + w = 0.

iii) ∀ x ∈ Z ∃ y ∈ N : x / y = 1.

Welche der Aussagen sind wahr? Begrunden Sie jeweils Ihre Antwort.

Ich weiß, dass bei der Negation die Quantoren vertauscht werden und das "=" zu "≠" wird. Mein Problem liegt eher in der Begründung, die mittels direkten, indirekten Beweis oder per Widerspruchsbeweis erfolgen soll.

LG

Answer 1

∀ v ∈ Z ∃ w ∈ Z : v + w = 0.

Negiert:  ∃ v ∈ Z ∀ w ∈ Z : v + w ≠ 0.

Die nicht negierte Version ist wahr:

Bew.: Sei v ∈ Z. Dann existiert w=-v und

für dieses w gilt v+w = v+(-v)=0. q.e.d.