Negation bilden von (∀x ∈ X) : p(x) : q(x) v r(x)

Question

Stimmt meine Negation?

(∃x∈X) : ¬p(x) : ¬q(x) Λ ¬r(x)

Comments

Wofür soll der zweite Doppelpunkt stehen???

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,, Für alle Elemente x der Menge X für die p(x) gilt, gilt auch q(x) oder r(x)

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Das war mir klar, habe eben nur auf deine Frage und nicht auf deine Überschrift geschaut.

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Die Schreibweise mit den beiden Doppelpunkten ist mir suspekt. Ist das die exakte Fragestellung und dann ohne jegliche Klammerung?

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Man kann das machen, wenn man anders klammert (zumindest habe ich das so schon gelesen):
$$(\forall x\in X:p(x)):(q(x)\lor r(x)).$$
Ich finde die Schreibweise aber auch nicht so gut.

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Wo hast du diese Schreibweise gesehen? Am besten vergisst du sie wieder; das ist nämlich absoluter Unsinn.

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Bestenfalls unpraktisch und -üblich, weshalb ich sie auch nicht verwende. Aber nicht "absoluter Unsinn" - Das würde sich lesen als ,,Für alle x aus X mit der Eigenschaft p(x) gilt q(x) oder r(x).''

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Diese Schreibweise geht so nicht. Wenn du innerhalb der ersten Klammer den Quantor $\forall x\in X$ stehen hast, dann hat das $x$ nur innerhalb dieser Klammer eine Bedeutung. Außerhalb der Klammer macht es dann überhaupt keinen Sinn, über $x$ zu reden.

Eine mögliche Notation für diese Aussage steht in meiner Antwort.

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Tatsache, Zeit für mich ins Bett zu gehen ;)

Answer 1

Hi,

Ich kann keinen Fehler erkennen.

Grüße Florian T. S.

Comments

Ich schon. ;-)

Answer 2

Das ist falsch; der zweite Doppelpunkt macht da überhaupt keinen Sinn.

Die Aussage, die du negieren sollst, ist: $\forall x\in X: p(x)\Rightarrow q(x)\vee r(x)$.

Die Negation davon ist: $\exists x\in X: \neg (p(x)\Rightarrow q(x)\vee r(x))$. Das ist gleichbedeutend mit $\exists x\in X: p(x)\wedge \neg(q(x)\vee r(x))$ und das wiederum ist dasselbe wie $\exists x\in X: p(x)\wedge \neg q(x)\wedge \neg r(x)$.

Comments

okay !! vielen dank für die Hilfe
Verwirrend wenn jeder was anderes sagt ;DD

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Zumindest sagen bei dieser Frage Wanja und ich das gleiche. Das sollte die Verwirrung doch zumindest etwas abschwächen. ;-)

Answer 3

Nicht ganz, die Aussage ist ja: Für alle x, für welche p(x) gilt, gilt auch q(x) oder p(x), das heißt anders gesagt: für alle x impliziert p(x) dass eine der anderen Aussagen gilt und die Negation davon lautet, dass es ein x gibt, für welches p(x) eben nicht impliziert, dass q(x) oder r(x) gilt. Das heißt

$$\exists x\in X: p(x) \land \neg(q(x)\lor r(x))$$

oder

$$\exists x\in X: p(x)\land \neg q(x)\land \neg r(x).$$

Comments

warum wird p(x) nicht negiert und alles andere schon?

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Siehe andere Frage. Schreib

$$a \Rightarrow b$$ zuerst als $$\neg a\lor b$$ und wende dann die bekannten Regeln an.