P(A∩B∩C) = P(A|B,C)P(B|C)P(C)

Question

Mithilfe des Satzes von Bayes kann man ja die Schnittmenge berechnen:

P(A∩B∩C) = P(A|B,C)P(B|C)P(C)

Wie sieht die Formel aber aus für n Mengen?
Kann ich diese mittels Induktion leicht beweisen?

Answer 1

Hi,

Beispiel-Formel für \(n\) Mengen:

$$ P \left( \bigcap \limits_{i=1}^n A_i \right) = \left(\prod_{i=1}^{n-1}P \left( A_i \bigg \vert \bigcap \limits_{k=i}^n A_k \right) \right) \cdot P (A_n )$$

Ja, das kann man schnell per Induktion zeigen.

Da es bisher beim IS starke Probleme zu geben scheint, mit der Definition aus den Kommentaren:

$$ P \left( \bigcap \limits_{i=1}^{n+1} A_i \right) = P \left( \bigcap \limits_{i=1}^n A'_i \right) = \left( \prod_{i=1}^{n-1}P \left( A'_i \bigg \vert \bigcap \limits_{k=i+1}^n A'_k \right) \right) P (A'_n)  \\ = \left( \prod_{i=1}^{n-1} P \left( A_i \bigg \vert \bigcap \limits_{k=i+1}^{n+1} A_k \right) \right)P (A_n \cap A_{n+1}) \\ =\left( \prod_{i=1}^n P \left( A_i \bigg \vert \bigcap \limits_{k=i+1}^{n+1} A_k \right) \right)P (A_{n+1})$$

Wobei bei beim letzten Gleichheitszeichen verwendet wurde, dass

$$ P (A \cap B ) = P (A|B) \cdot P (B) $$

Hoffe es ist jetzt klarer :).

Anmerkung: Für die betrachteten Mengen nehmen wir natürlich die Voraussetzungen für die bedingte Wahrscheinlichkeit an.

Gruß

Comments

Kannst du mir helfen beim Induktionsschritt? Also einen Anfang geben?

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Wenn du zum Beispiel definierst: \( A'_i := A_i \) für \( 1\leq i \leq n-1\) und \(A'_n:= A_n \cap A_{n+1} \) betrachtest du im IS nur noch den Durchschnitt über \(n\) Mengen *Wink mit dem Zaunpfahl* ;).

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Ich habe das Gefühl, du hast mir die Lösung schon fast gegeben, aber ich blicke trotzdem nicht durch..

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Was kriegst du denn, wenn du jetzt die Induktionsvoraussetzung verwendest?

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Ja eben da blicke ich nicht durch, stehe wohl gerade voll auf dem Schlauch..

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Ist das der Induktionsschritt

A′n:=An∩An+1

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Nein das ist nur eine Definition die ich eingeführt habe. Im IS sollst du zeigen, dass wenn die obige Formel für n Mengen gilt, sie auch für n+1 Mengen gilt. Dazu benutzt du meinen Hinweis. Da du für n Mengen einfach die IV benutzen kannst.

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Kann ich dann sagen, dass wen die InduktionsVoraussetzung mit n=1 stimmt, dass auch der IS stimmt, weil dort nur über n Mengen geschaut wird?

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Habe diese Aufgabe gerade auch erhalten und wollte auch gerade fragen, habe aber schon hier diese Variante gesehen. Meine Frage an den Gast, wie hast du die Induktionsvoraussetzung gemacht, vielleicht happerts da.

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IV:

n=1 P[ A1¨]= P[A1|A1]

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Hi ihr zwei. Habe vorhin bemerkt, dass die Formel noch fehlerhaft war und habe es jetzt editiert. Habe den IS mal dazu geschrieben. Dauert ein bisschen vom Handy aus :D.