Anfangswertproblem der Differentilagleichung mit Laplace Transformation lösen

Question

Das Anfangswertproblem für y(x=0) = 10 folgender Differentialgleichung ist unter Angabe nachvollziehbarer Schritte exemplarisch mit Hilfe der Laplace-Tranfsormation zu  lösen.

y`(x) = x^2+y(x)

Answer 1

Aus dem Differentationssatz folgt:

y=F(s)

y'= -y(0) +s*F(s)

eingesetzt in die Aufgabe:

y'-y=x^2

-y(0) +s*F(s) -F(s)=LT  (x^2) ->ist eine geschweifte Klammer.

-10 +s F(s) -F(s)= 2/s^3

F(s)( s-1) -10= 2/s^3

F(s)=( 2/s^3 +10) /(s-1)

F(s)= (2(1 +5 s^3)/(s^3(s-1))

entweder Partialbruchzerlegung oder Tabelle:

F(s)= 12/(s-1) -2/s^3 -2/s^2 -2/s

y=12 e^x -x^2 -2x-2 (aus Tabelle)