Aufgrund der Linearität des Erwartungwertes gilt \( Cov(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y] \). Es reicht daher zu zeigen, dass \( E[XY]=E[X]E[Y] \). Du kannst nun wie folgt vorgehen:
Benutze zunächst das law of total expectation:
$$ E[XY] = E_Y\left[ E\left[XY | Y\right] \right] $$
Und jetzt benutze, dass \(Y\) per Definition \(\sigma(Y)\)-messbar ist und deshalb \(E[XY | Y] = Y E[X|Y] \) gilt.
