Nullstellen berechnen bei Funktion 4 Grades: f(x)= -0.25x4+2.25x2+x-3

Question

Es geht um die Berechnung der Nullstellen der Gleichung f(x)=-0.25x^4+2.25x^2+x-3

Welches Verfahren kann ich anwenden?

Ich wäre sehr dankbar für einen Lösungsansatz oder einen kompletten Lösungsweg.

Comments

Tipp: Zur Kontrolle kannst du gfplot benutzen. Für deine Aufgabe ergibt sich:

Es gibt insgesamt 4 Lösungen bei Berücksichtigung von Reellen und Komplexen Zahlen:
x₁ = 1
x₂ = -2
x₃ = -2
x₄ = 3

Hilft auch bei Kontrolle weiterer Aufgaben :)

Answer 1

Da gibt es drei Möglichkeiten:

1) Lösung raten + Polynomdivision

2) Lösungsformel (umständlich)

3) Symbolisch rechnen am Computer (unter umständen nicht zulässig)

 

Raten wir also mal:

x = 1 --> 0 = -0.25*1⁴+2.25*1²+1-3
x = -2 --> 0 = -0.25*2⁴+2.25*2²-2-3

ist eine Lösung:

Polynomdivision:

(-0.25*x⁴+2.25*x²+x-3) : (x-1) = -0,25x³-0,25x²+2x+3

-(-0,25x⁴+0,25x³)
------------------------------
       -0,25x³+2,25x²
     -(-0,25x³+0,25x²)
   --------------------------------
                2x²+x
             -(2x²-2x)
            ---------------------------
                       3x -3
                     -(3x-3)
                --------------------
                       -       -
      

f(x) =  -0.25x⁴+2.25x²+x-3  = (-0,25x³-0,25x²+2x+3) * (x-1)

 

(-0,25x³-0,25x²+2x+3) : (x+2) = -0,25x² +0,25x +1,5

....

f(x) = (-0,25x² +0,25x +1,5) * (x+2) * (x-1);

 

Jetzt hast Du eine quadratische Gleichung und die kannst Du mit der abc-Formel lösen.

 

x1 = 1;  x2 = 3;  x3 = -2;  x4 = -2;

 

Vielleicht gibt's noch eine andere Variante mit Umformen der Gleichung, aber ich wüsste im Moment nicht wie man das dann macht. Vielleicht hat hier im Forum noch jemand eine Idee.

 

lg JR

Answer 2

Hallo

Die 4 Nullstellen eines normierten Polynoms 4. Grades x⁴ +ax³ +bx² +cx +d = 0 lassen sich wie folgt finden: man ersetzt zuerst 4x +a = z, also

(4x)⁴ +4a (4x)³ +16b (4x)² +64c (4x) +256d = 0

(4x +a)⁴ +(16b -6a²) (4x +a)² +(64c -4a³ -32ab +12a³) (4x +a) +256d -a⁴ -16ba² +6a⁴ -64ac +4a⁴ +32a^2b -12a⁴ = 0

z⁴ +(16b -6a²) z² +(8a³ -32ab +64c) z -3a⁴ +16a^2b --64ac +256d = 0

z⁴ +k z² +m z +n = 0

Dieses Polynom in z, das keinen Koeffizienten 3. Grades mehr besitzt, kann durch folgenden Ansatz von Tartaglia geloest werden:

(z² +P)² = (Q z +R)²   => z² +P = +/- (Q z +R)

      ==> z1,2 = +Q/2 +/- (Q²/4 -P +R)^1/2

   ∨ z3,4 = -Q/2 +/- (Q²/4 -P -R)^1/2

z⁴ +(2P -Q²) z² -2QR z +P² -R² = 0

Der Koeffizienten-Vergleich ergibt:

(1) 2 P -Q² = k ==> Q² = 2 P -k

(2) P² -R² = n ==> R² = P² -n

(3) -2 Q R = m

==> 4 Q² R² = m² ==> 4 (2 P -k) * (P² -n) = m² => 4 (2 P³ -k P² -2n P +kn) = m²

P ist also eine Nullstelle eines normierten Polynoms 3. Grades: P³ -k/2 P² -n P +k*n/2 -m²/8 = 0

     ==> (2P)³ -k (2P)² -4n (2P) +4 kn -m² = 0

     ==> (6P)³ -3k (6P)² -36n (6P) +108 kn -27 m² = 0

     ==> (6P -k)³ +(-36n -3k²) (6P -k) +108kn -27m² +k³ -36nk -3k³ = 0

     => (6P -k)³ +(-36n -3k²) (6P -k) -2k³ +72kn -27m² = 0

Es gilt also folgenden Fälle zu unterscheiden

(a) -3k² -36n = 0

==> 6P -k = (+2k³ -72kn +27m²) ^1/3

(b) -3k² -36n > 0

==> 6P -k = 2*(-k² -12n)^1/2*sinh 1/3 arsinh (2 k³ -72 kn +27 m²)/2/(-k² -12 n)^3/2

 

(c) -3k² -36n < -1

==> 6P -k = 2*(+k² +12n)^1/2

    * |2 k³ -72 kn +27 m²| / (2k³ -72 kn +27 m²)

    *cosh 1/3 arcosh |2 k³ -72 kn +27 m²|/2/(-k² -12 n)^3/2

Falls der Zähler < 0 ist, ist auch 6 P -k < 0 und der arcosh wird vom Betrag des Quotienten gerechnet

 

(d) -1 < -3k² -36n < 0

==> 6P -k = 2*(+k² +12n)^1/2*cos 1/3 arccos (2 k³ -72 kn +27 m²)/2/(-k² -12 n)^3/2

 

Die Lösungen der Gleichung 4. Grades sind

    z1,2 = +Q/2 +/- (Q²/4 -P +R)^1/2

   ∨ z3,4 = -Q/2 +/- (Q²/4 -P -R)^1/2

dabei gilt

(1) 2 P -Q² = k ==> Q² = 2 P -k ==> Q = +/- (2 P -k)^1/2 ==> Q/2 = +/- (P/2 -k/4)

(2) P² -R² = n ==> R² = P² -n ==> R = +/- (P² -n)^1/2

(3) - 2 Q R = m ==> Q = -m/R/2

Wird R wird mit positivem Vorzeichen gewaehlt, erhält Q das negierte Vorzeichen des Koeffizienten m erhält.

Wird R mit negativem Vorzeichen gewaehlt, erhält Q das nicht-negierte Vorzeichen des Koeffizienten m.

z⁴ +k z² +m k +n = 0

z1 = -Q/2 + (Q²/4 -P +R)^1/2

z2 = -Q/2 - (Q²/4 -P +R)^1/2

z1 = +Q/2 + (Q²/4 -P -R)^1/2

z2 = +Q/2 - (Q²/4 -P -R)^1/2

Aus z erhält man x : 4x +a = z -> x = (z -a)/4

 

Beispiel:

(A)       x⁴ +4 x³ +3 x² +2 x +1 = 0

(4x)⁴ +4*4 (4x)³ +16*3 (4x)² +64*2 (4x) +256 = 0

z⁴ +(16*3 -6*16) z² +(8*64 -32*4*3 +64*2) z -3*256 +16*16*3 --64*4*2 +256*1 = 0

z⁴ -48 z² +256 z -256 = 0

(6P)³ -3*(-48) (6P)² -36*(-256) (6P) +108 *(-48)*(-256) -27 * 65536 = 0

(6P -(-48))³ +(-36*(-256) -3*2304) (6P -k) -2*(-110592) +72*(-48)*(-256) -27*65536 = 0

(6P +48)³ +2304 (6P +48) -663552 = 0

2304 > 0 ==> 6P1 +48 = 2 *(768)^1/2 * sinh 1/3 arsinh +331776/(768)^3/2 = 78,44953406

P = 5,074922343

z1,2 = -(P/2 -k/4)^1/2 +/- ((P² -n)^1/2 -k/4 -P/2)^1/2 = -(P/2 +12)^1/2 +/- ( (P² +256)^1/2 +12 -P/2)^1/2

= -3.812802273 +/- 5.123289298

∨   z3,4 = +(P/2 -k/4)^1/2 +/- (-(P² -n)^1/2 -k/4 -P/2)^1/2 = +(P/2 +12)^1/2 +/- ( -(P² +256)^1/2 +12 -P/2)^1/2 = +3.812802273 +/- i*2.706107088

  ==> z1 = +1.310487025 ∨ z2 = -8.936091571 ∨ z3,4 = +3.812802273 +/- i*2.706107088

  ==> x1 = 1/4(z1 -a) = 1/4(z1 -4) = -0.672378243 ∨ x2 = 1/4(z2 -a) = 1/4(z2 -4) = -3.234022893

 ∨ x3,4 = 1/4(z3,4 -a) = 1/4*z3,4 -1 = +3.812802273/4 -1 +/- i*2.706107088/4 = -0.046799431 +/- i*0.676526772

  ==> x1 = -0.672378243 ∨ x2 = -3.234022893

 ∨ x3,4 = -0.046799431 +/- i*0.676526772 = -0.678143539*e^{i*arccos 0.069011099} = -0.678143539*e^{i*pi/180*86.04281} = rr*e^iphi

 

4phi = 4*86.04281° = 344.17124°

3phi = 3*86.04281° = 258.12843°

2phi = 2*86.04281° = 172.08562°

 

Probe:  x1⁴ +4 x1³ +3 x1² +2 x1 +1 = 0 (w)       ∨     x2⁴ +4 x2³ +3 x2² +2 x2 +1 = 0 (w)

∨ x3⁴ +4 x3³ +3 x3² +2 x3 +1 = (rr⁴*cos 4phi +4*rr³*cos 3phi +3*rr² *cos 2phi +2*rr*cos 1phi +1)

 +i(rr⁴*sin 4phi +4*rr³ *sin 3phi +3*rr² *sin 2phi +2*rr*sin 1phi) = 0 +i*0 (w)

∨ x4⁴ +4 x4³ +3 x4² +2 x4 +1 = (rr⁴*cos (-4phi) +4*rr³*cos (-3phi) +3*rr² *cos (-2phi) +2*rr*cos (-1phi) +1)

 +i(rr⁴*sin (-4phi) +4*rr³ *sin (-3phi) +3*rr² *sin (-2phi) +2*rr*sin (-1phi)) = 0 +i*0 (w)

Comments

Die Fallunterscheidungen (c) und (d) der Lösung von P  (b) und (c) muessen wie folgt lauten:

(c) -3k^2 -36n < 0 ∧  |k^3 -72 kn +27 m^2 | / 2 / (-k^2 -12 n)^{3/2} > 1

(d) Normal 0 21

-3k^2 -36n < 0 ∧  |k^3 -72 kn +27 m^2|  / 2 / (-k^2 -12 n)^{3/2} < 1

Sorry.

Answer 3

$f(x)=-0,25x^4+2,25x^2+x-3$

$f'(x)=-x^3+4,5x+1$

$x^3-4,5x-1=0$

geratene Nullstelle $x=-2$  →$f(-2)=-0,25 \cdot (-2)^4+2,25 \cdot (-2)^2+(-2)-3=0$

$f'(-2)=-(-2)^3+4,5 \cdot (-2)+1=0$

Art des Extremwertes :

$f''(x)=-3x^2+4,5$  →    $f''(-2)=-3 \cdot (-2)^2+4,5=-7,5<0$ Maximum

An der Stelle $x=-2$ ist eine zweifache Nullstelle

Weitere Nullstellen:

Polynomdivision

$(-0,25x^4+2,25x^2+x-3):(x+2)^2=(-0,25x^4+2,25x^2+x-3):(x^2+4x+4)\\=-0,25x^2+x-0,75$

$-\frac{1}{4}x^2+x-\frac{3}{4}=0$

$-x^2+4x-3=0$

$x^2-4x+2^2=-3+2^2=1$

$(x-2)^2= 1|±\sqrt{~~}$

$1.)$

$x-2= 1$

$x_3= 3$

$2.)$

$x-2= -1$

$x_4= 1$

Comments

Der Nachweis der Art des Extremums ist überflüssig und kann ersatzlos gestrichen werden.

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@nudger:

Das musst du verstehen. Nachdem Moliets mehrmals seine "mit erster Ableitung doppelte Nullstelle finden"-Methode hier platziert hat (und wenn die nicht funktionierte, NACH Kenntnis der doppelten Nullstelle durch eine entsprechende vertikale Verschiebung die Wunschsituation herbeigeführt hat) wurde er auch schon mehrmals auf die Sinnlosigkeit seiner Methode hingewiesen.

Seitdem sucht er zwanghaft, mit ausgewählten Aufgaben aus der ersten Hälfte des vergangenen Jahrzehnts immer wieder seine "Methode" zu rechtfertigen.

Das zeigt sich auch hier wieder. Es ist natürlich keine Kunst, wenn am 23.12. 2014 schon mal jemand die doppelte Nullstelle x=-2 genannt hat, diese jetzt aus dem Hut zu zaubern.

Bezeichnet ist, dass er NICHT versucht hat, an den mindestens genau so naheliegenden Nullstellen 1 und 3 seinen Hokuspokus zu versuchen.

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@abakus ja, ist mir schon klar, sehe ich genauso. Es fällt mir aber schwer, solche mangelhaften Antworten einfach kommentarlos stehen zu lassen.

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Beantwortet 28 Dez 2013 von lemmy

Zerpflückt doch bitte auch mal diese Antwort! Es muss schon jemand ganz begnadet sein, um den Lösungsweg zu verstehen, da ist mein Weg dagegen doch ein Kinderspiel.

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Ich verstehe nicht, warum man sich erstens eine 10 Jahre alte Aufgabe raussuchen muss und sich dann noch beim Beantworten einen abbrechen muss.

-0.25x⁴ + 2.25x² + x - 3 = 0

x⁴ - 9x² - 4x + 12 = 0

Ganzzahlige Nullstellen müssen Teiler von 12 sein. Also 1, 2, 3, 4, 6 oder 12 jeweils mit positivem oder negativem Vorzeichen.

Probeweises Einsetzen ergibt die Nullstellen x = -2 ∨ x = 1 ∨ x = 3. Damit machen wir jetzt jeweils eine Polynomdivision oder das Horner Schema.

(x⁴ - 9·x² - 4·x + 12)/(x + 2) = x³ - 2·x² - 5·x + 6

(x³ - 2·x² - 5·x + 6)/(x - 1) = x² - x - 6

(x² - x - 6)/(x - 3) = x + 2

Der Letzte Linearfaktor lautet also (x + 2), weshalb x = -2 eine doppelte Nullstelle ist.

Nullstellen sind also: x = -2 (2-fach) ∨ x = 1 ∨ x = 3

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Die Polynomdivision kann man sich auch noch sparen, wenn bereits drei Nullstellen bekannt sind, denn die Summe aller vier Nullstellen muss Null sein.

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Stimmt, weil der Koeffizient vor x³ ja 0 ist.

Oder man macht sich zunutze, dass das Produkt der Nullstellen 12 sein muss.

(-2)·1·3·n₄ = 12

Auch hier sieht man recht einfach, dass die 4. Nullstelle -2 sein muss.

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@nudger   Es fällt mir aber schwer, solche mangelhaften Antworten einfach kommentarlos stehen zu lassen.

So, so! Jetzt sind Antworten mangelhaft mit doch richtigem Ergebnis. Das war zu meiner Schulzeit aber noch anders!

@ Der_Mathecoach    Stimmt, weil der Koeffizient vor $x^3$ ja 0 ist.

Dann fällt aber $x^3$ komplett weg!