Kurve f(t) = (e^{ct}*cos t, e^{ct}*sin t)

Question

Sei c > 0 und f: ℝ→ℝ² die Kurve

f(t) = (e^ct cos t, e^ct sin t)

(a) Man skizziere die Kurve für c = 1/(2π) im Bereich -2π ≤ t ≤ 2π

(b) Für [a,b] ⊂ ℝ sei L_a,b die Bogenlänge der Kurve f im Bereich t ∈ [a,b]. Man berechne L_a,b

(c) Zeigen Sie, dass lim _a→-∞ L_a,0 existiert und berechnen Sie den Limes.

Answer 1

a)

b)

L = ∫_a^b sqrt(  (dx/dt)^2+(dy/dt)^2  );

L = [2*pi*(exp(t/pi) + exp(t/pi)/(4*pi^2))^{1/2} ]_a^b  ;

c)

Ich geh mal davon aus, dass Du den Grenzwert gegen minus unendliche haben willst:

lim(a->-∞, b=0){ L} = (4*pi^2 + 1)^{1/2};

 

lg JR

 

Comments

L = [  (exp(2*c*t) + c^2*exp(2*c*t))^{1/2}/c ]_a^b
 
lim(a->-∞, b=0){L} = (c^2 + 1)^{1/2}/c;

Für c > 0 allgemein.

 

lg JR

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Als Lösung habe ich das gleiche raus, jedoch verstehe ich bei c) nicht, wie man zeigt, dass der Grenzwert überhaupt existiert?