Kurve f(t) = (ect*cos t, ect*sin t)

Question

Sei c > 0 und f: ℝ→ℝ² die Kurve

f(t) = (e^ct cos t, e^ct sin t)

(a) Man skizziere die Kurve für c = 1/(2π) im Bereich -2π ≤ t ≤ 2π

(b) Für [a,b] ⊂ ℝ sei L_a,b die Bogenlänge der Kurve f im Bereich t ∈ [a,b]. Man berechne L_a,b

(c) Zeigen Sie, dass lim _a→-∞ L_a,0 existiert und berechnen Sie den Limes.

Answer 1

a)

b)

L = ∫_a^b sqrt(  (dx/dt)²+(dy/dt)²  );

L = [2*pi*(exp(t/pi) + exp(t/pi)/(4*pi²))^1/2 ]_a^b  ;

c)

Ich geh mal davon aus, dass Du den Grenzwert gegen minus unendliche haben willst:

lim(a->-∞, b=0){ L} = (4*pi² + 1)^1/2;

 

lg JR

 

Comments

L = [  (exp(2*c*t) + c²*exp(2*c*t))^1/2/c ]_a^b
 
lim(a->-∞, b=0){L} = (c² + 1)^1/2/c;

Für c > 0 allgemein.

 

lg JR

---

Als Lösung habe ich das gleiche raus, jedoch verstehe ich bei c) nicht, wie man zeigt, dass der Grenzwert überhaupt existiert?