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Es geht um die Berechnung der Nullstellen der Gleichung f(x)=-0.25x^4+2.25x^2+x-3

Welches Verfahren kann ich anwenden?

Ich wäre sehr dankbar für einen Lösungsansatz oder einen kompletten Lösungsweg.
von

Tipp: Zur Kontrolle kannst du gfplot benutzen. Für deine Aufgabe ergibt sich:

Es gibt insgesamt 4 Lösungen bei Berücksichtigung von Reellen und Komplexen Zahlen:
x1 = 1
x2 = -2
x3 = -2
x4 = 3

Hilft auch bei Kontrolle weiterer Aufgaben :)

2 Antworten

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Da gibt es drei Möglichkeiten:

1) Lösung raten + Polynomdivision

2) Lösungsformel (umständlich)

3) Symbolisch rechnen am Computer (unter umständen nicht zulässig)

 

Raten wir also mal:

x = 1 --> 0 = -0.25*14+2.25*12+1-3
x = -2 --> 0 = -0.25*24+2.25*22-2-3

ist eine Lösung:

Polynomdivision:

(-0.25*x4+2.25*x2+x-3) : (x-1) = -0,25x^3-0,25x^2+2x+3

-(-0,25x^4+0,25x^3)
------------------------------
       -0,25x^3+2,25x^2
     -(-0,25x^3+0,25x^2)
   --------------------------------
                2x^2+x
             -(2x^2-2x)
            ---------------------------
                       3x -3
                     -(3x-3)
                --------------------
                       -       -
      

f(x) =  -0.25x4+2.25x2+x-3  = (-0,25x^3-0,25x^2+2x+3) * (x-1)

 

(-0,25x^3-0,25x^2+2x+3) : (x+2) = -0,25x^2 +0,25x +1,5

....

f(x) = (-0,25x^2 +0,25x +1,5) * (x+2) * (x-1);

 

Jetzt hast Du eine quadratische Gleichung und die kannst Du mit der abc-Formel lösen.

 

x1 = 1;  x2 = 3;  x3 = -2;  x4 = -2;

 

Vielleicht gibt's noch eine andere Variante mit Umformen der Gleichung, aber ich wüsste im Moment nicht wie man das dann macht. Vielleicht hat hier im Forum noch jemand eine Idee.

 

lg JR

von 3,7 k
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Hallo

Die 4 Nullstellen eines normierten Polynoms 4. Grades x^4 +ax^3 +bx^2 +cx +d = 0 lassen sich wie folgt finden: man ersetzt zuerst 4x +a = z, also

(4x)^4 +4a (4x)^3 +16b (4x)^2 +64c (4x) +256d = 0

(4x +a)^4 +(16b -6a^2) (4x +a)^2 +(64c -4a^3 -32ab +12a^3) (4x +a) +256d -a^4 -16ba^2 +6a^4 -64ac +4a^4 +32a^2b -12a^4 = 0

z^4 +(16b -6a^2) z^2 +(8a^3 -32ab +64c) z -3a^4 +16a^2b --64ac +256d = 0

z^4 +k z^2 +m z +n = 0

Dieses Polynom in z, das keinen Koeffizienten 3. Grades mehr besitzt, kann durch folgenden Ansatz von Tartaglia geloest werden:

(z^2 +P)^2 = (Q z +R)^2   => z^2 +P = +/- (Q z +R)

      ==> z1,2 = +Q/2 +/- (Q^2/4 -P +R)^{1/2}

   ∨ z3,4 = -Q/2 +/- (Q^2/4 -P -R)^{1/2}

z^4 +(2P -Q^2) z^2 -2QR z +P^2 -R^2 = 0

Der Koeffizienten-Vergleich ergibt:

(1) 2 P -Q^2 = k ==> Q^2 = 2 P -k

(2) P^2 -R^2 = n ==> R^2 = P^2 -n

(3) -2 Q R = m

==> 4 Q^2 R^2 = m^2 ==> 4 (2 P -k) * (P^2 -n) = m^2 => 4 (2 P^3 -k P^2 -2n P +kn) = m^2

P ist also eine Nullstelle eines normierten Polynoms 3. Grades: P^3 -k/2 P^2 -n P +k*n/2 -m^2/8 = 0

     ==> (2P)^3 -k (2P)^2 -4n (2P) +4 kn -m^2 = 0

     ==> (6P)^3 -3k (6P)^2 -36n (6P) +108 kn -27 m^2 = 0

     ==> (6P -k)^3 +(-36n -3k^2) (6P -k) +108kn -27m^2 +k^3 -36nk -3k^3 = 0

     => (6P -k)^3 +(-36n -3k^2) (6P -k) -2k^3 +72kn -27m^2 = 0

Es gilt also folgenden Fälle zu unterscheiden

(a) -3k^2 -36n = 0

==> 6P -k = (+2k^3 -72kn +27m^2) ^{1/3}

(b) -3k^2 -36n > 0

==> 6P -k = 2*(-k^2 -12n)^{1/2}*sinh 1/3 arsinh (2 k^3 -72 kn +27 m^2)/2/(-k^2 -12 n)^{3/2}

 

(c) -3k^2 -36n < -1

==> 6P -k = 2*(+k^2 +12n)^{1/2}

    * |2 k^3 -72 kn +27 m^2| / (2k^3 -72 kn +27 m^2)

    *cosh 1/3 arcosh |2 k^3 -72 kn +27 m^2|/2/(-k^2 -12 n)^{3/2}

Falls der Zähler < 0 ist, ist auch 6 P -k < 0 und der arcosh wird vom Betrag des Quotienten gerechnet

 

(d) -1 < -3k^2 -36n < 0

==> 6P -k = 2*(+k^2 +12n)^{1/2}*cos 1/3 arccos (2 k^3 -72 kn +27 m^2)/2/(-k^2 -12 n)^{3/2}

 

Die Lösungen der Gleichung 4. Grades sind

    z1,2 = +Q/2 +/- (Q^2/4 -P +R)^{1/2}

   ∨ z3,4 = -Q/2 +/- (Q^2/4 -P -R)^{1/2}

dabei gilt

(1) 2 P -Q^2 = k ==> Q^2 = 2 P -k ==> Q = +/- (2 P -k)^{1/2} ==> Q/2 = +/- (P/2 -k/4)

(2) P^2 -R^2 = n ==> R^2 = P^2 -n ==> R = +/- (P^2 -n)^{1/2}

(3) - 2 Q R = m ==> Q = -m/R/2

Wird R wird mit positivem Vorzeichen gewaehlt, erhält Q das negierte Vorzeichen des Koeffizienten m erhält.

Wird R mit negativem Vorzeichen gewaehlt, erhält Q das nicht-negierte Vorzeichen des Koeffizienten m.

z^4 +k z^2 +m k +n = 0

z1 = -Q/2 + (Q^2/4 -P +R)^{1/2}

z2 = -Q/2 - (Q^2/4 -P +R)^{1/2}

z1 = +Q/2 + (Q^2/4 -P -R)^{1/2}

z2 = +Q/2 - (Q^2/4 -P -R)^{1/2}

Aus z erhält man x : 4x +a = z -> x = (z -a)/4

 

Beispiel:

(A)       x^4 +4 x^3 +3 x^2 +2 x +1 = 0

(4x)^4 +4*4 (4x)^3 +16*3 (4x)^2 +64*2 (4x) +256 = 0

z^4 +(16*3 -6*16) z^2 +(8*64 -32*4*3 +64*2) z -3*256 +16*16*3 --64*4*2 +256*1 = 0

z^4 -48 z^2 +256 z -256 = 0

(6P)^3 -3*(-48) (6P)^2 -36*(-256) (6P) +108 *(-48)*(-256) -27 * 65536 = 0

(6P -(-48))^3 +(-36*(-256) -3*2304) (6P -k) -2*(-110592) +72*(-48)*(-256) -27*65536 = 0

(6P +48)^3 +2304 (6P +48) -663552 = 0

2304 > 0 ==> 6P1 +48 = 2 *(768)^{1/2} * sinh 1/3 arsinh +331776/(768)^{3/2} = 78,44953406

P = 5,074922343

z1,2 = -(P/2 -k/4)^{1/2} +/- ((P^2 -n)^{1/2} -k/4 -P/2)^{1/2} = -(P/2 +12)^{1/2} +/- ( (P^2 +256)^{1/2} +12 -P/2)^{1/2}

= -3.812802273 +/- 5.123289298

∨   z3,4 = +(P/2 -k/4)^{1/2} +/- (-(P^2 -n)^{1/2} -k/4 -P/2)^{1/2} = +(P/2 +12)^{1/2} +/- ( -(P^2 +256)^{1/2} +12 -P/2)^{1/2} = +3.812802273 +/- i*2.706107088

  ==> z1 = +1.310487025 ∨ z2 = -8.936091571 ∨ z3,4 = +3.812802273 +/- i*2.706107088

  ==> x1 = 1/4(z1 -a) = 1/4(z1 -4) = -0.672378243 ∨ x2 = 1/4(z2 -a) = 1/4(z2 -4) = -3.234022893

 ∨ x3,4 = 1/4(z3,4 -a) = 1/4*z3,4 -1 = +3.812802273/4 -1 +/- i*2.706107088/4 = -0.046799431 +/- i*0.676526772

  ==> x1 = -0.672378243 ∨ x2 = -3.234022893

 ∨ x3,4 = -0.046799431 +/- i*0.676526772 = -0.678143539*e^{i*arccos 0.069011099} = -0.678143539*e^{i*pi/180*86.04281} = rr*e^iphi

 

4phi = 4*86.04281° = 344.17124°

3phi = 3*86.04281° = 258.12843°

2phi = 2*86.04281° = 172.08562°

 

Probe:  x1^4 +4 x1^3 +3 x1^2 +2 x1 +1 = 0 (w)       ∨     x2^4 +4 x2^3 +3 x2^2 +2 x2 +1 = 0 (w)

∨ x3^4 +4 x3^3 +3 x3^2 +2 x3 +1 = (rr^4*cos 4phi +4*rr^3*cos 3phi +3*rr^2 *cos 2phi +2*rr*cos 1phi +1)

 +i(rr^4*sin 4phi +4*rr^3 *sin 3phi +3*rr^2 *sin 2phi +2*rr*sin 1phi) = 0 +i*0 (w)

∨ x4^4 +4 x4^3 +3 x4^2 +2 x4 +1 = (rr^4*cos (-4phi) +4*rr^3*cos (-3phi) +3*rr^2 *cos (-2phi) +2*rr*cos (-1phi) +1)

 +i(rr^4*sin (-4phi) +4*rr^3 *sin (-3phi) +3*rr^2 *sin (-2phi) +2*rr*sin (-1phi)) = 0 +i*0 (w)

von
Die Fallunterscheidungen (c) und (d) der Lösung von P  (b) und (c) muessen wie folgt lauten:

(c) -3k^2 -36n < 0 ∧  |k^3 -72 kn +27 m^2 | / 2 / (-k^2 -12 n)^{3/2} > 1

(d) Normal 0 21

-3k^2 -36n < 0 ∧  |k^3 -72 kn +27 m^2|  / 2 / (-k^2 -12 n)^{3/2} < 1

Sorry.

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