Polynom rekonsturieren mit einem Steckbrief : Nullstellen, komplexe Nullstellen

Question

Wie finde ich folgendedes Polynome <= 4.Grades mit diesen Eigenschaften:

-p(−2)=p(0)=0 und p(1)=12

-Betrachtet man p(x) als komplexes Polynom, dann ist p(2 + i) = 0.

es sind 4 nullstellen gegeben, aber wenn man die komplexe-konjugierte-Nullstelle beachtet, also P(2-i), dann hat man ja 5 Nullstellen, was ja dann der Aufgabenstellung widerspricht... Oder?

Answer 1

So findest du es:

Ein Polynom 4. Grades hat die Form a*x^4 + b*x^3 + c*x^2 + d*x + e. Damit können wir Gleichungen aufstellen:

Gleichungen:

(1) p(0) = e = 0 

(2) p(1) = a + b + c + d + e = 12

(3) -p(-2) = -(a*16 - b*8 + c*4 - d*2 + e) = -16*a + 8*b - 4*c + 2*d - e = 0

(4) p(2 + i) = a*(2 + i)^4  + b*(2 + i)^3 + c*(2 + i)^2 + d*(2 + i) =...

Rechne aus, und versuche (!) dann das Gleichungssystem zu lösen.

Woher hast du die Aufgabe? Handelt es sich bei dem Polynom um ein reeles? Aber in einer der Bedingung wird gesagt: "Betrachtet man p(x) als komplexes Polynom...". Schon komig.

Comments

Naja, man kann direkt

p(x) = a * x(x+2)(x-2-i)(x-2+i) = a * x(x+2)(x^2-4x+4+1) = a * x(x+2)(x²-4x+5)

setzen und den letzten Faktor a∈ℝ durch Einsetzen in p(1)=12 bestimmen. So erhält man auch direkt eine hübsche faktorisierte Form.

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wofür steht denn a? dass die nullstellen als lineare Faktoren zerlegt worden sind verstehe ich aber. das a nicht ...

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Das ist der Faktor, der dann vor dem x^4 steht. Würde er fehlen, müsste das Polynom mit x^4 + ...

anfangen, aber es kann ja auch z.B. mit 7x^4 + ... beginnen (hier wäre dann a = 7).

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ich habe als Ergebnis 4x^2+8x ausgerechnet. hat es jemand zufällig auch ausgerechnet und könnte es mit meinem ergebnis abgleichen?

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p(x) = a * x(x+2)(x-2-i)(x-2+i)

= a * (x^2 + 2x) * (x^2 - 2x + ix - 2x + 4 - 2i - ix +2i +1)

= a * (x^2 + 2x) * (x^2 - 4x + 5)

= a * (x^4 - 4x^3 + 5x^2 + 2x^3 - 8x^2 + 10x)

= a * (x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 10x)

 

p(1) = 12

= a * (1 - 2 - 3 + 10) = 6a 

a = 2

 

p(x) = 2x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 20x

 

Dies erfüllt zumindest die Bedingungen 

p(0) = 0

p(-2) = 0

p(1) = 12

Diese Bedingungen werden von Deiner berechneten Funktion auch erfüllt, nur ist das halt ein Polynom 2. Grades. 

Man müsste jetzt durch Einsetzen noch überprüfen, ob

p(2+i) = p(2-i) = 0 gilt.

 

Das ist mir aber zu aufwändig :-)

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Mir auch, deshalb hab' ich's auch nicht gemacht, hahahaha! :-)

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Naja, läuft ja nichts im TV :-)

p(2+i)
= 2 * (2+i)^4 - 4 * (2+i)^3 - 6 * (2+i)^2 + 20 * (2+i)

= 2 * (4 + 4i - 1)*(4 + 4i - 1) - 4 * (4 + 4i - 1)*(2 + i) - 6 * (4 + 4i - 1) + 40 + 20i

= 2 * (16 + 16i - 4 + 16i - 16 - 4i - 4 - 4i + 1) - 4 * (8 + 4i + 8i -4 -2 -i) - 24 - 24i + 6 + 40 + 20i

= 32 + 32i - 8 + 32i - 32 - 8i - 8 - 8i + 2 - 32 - 16i - 32i + 16 +8 + 4i - 24 - 24i + 6 + 40 + 20i

= 0 + 0i = 0


p(2-i)

= 2 * (2-i)^4 - 4 * (2-i)^3 - 6 * (2-i)^2 + 20 * (2-i)

= 2 * (4 - 4i - 1)*(4 - 4i - 1) - 4 * (4 - 4i - 1)*(2-i) - 6 * (4 - 4i - 1) + 20 * (2 - i)

= 2 * (16 - 16i -4 - 16i - 16 + 4i - 4 +4i + 1) - 4 * (8 - 4i - 8i - 4 -2 + i) - 24 + 24i + 6 + 40 - 20i

= 32 - 32i - 8 -32i - 32 + 8i - 8 + 8i +2 - 32 + 16i + 32i + 16 + 8 - 4i - 24 + 24i + 6 + 40 - 20i

= 0 + 0i = 0

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Das sollte einen nach der Konstruktion nicht sonderlich überraschen. Vor allem die zweite Rechnung ist unnötig; da das Polynom reelle Koeffizienten hat und komplexe Nullstellen natürlich konjugiert auftreten.

Zumal in der Aufgabenstellung nur p(2+i) = 0 gefordert war und du damit ohnehin zu viel überprüft hast.

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Alles klar, aber ich dachte mir: Sicher ist sicher :-)