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Brauche Hilfe bei folgender Fragestellung: Bei einem Wettbewerb mit 5 Spielern spielt jeder Spieler gegen jeden anderen genau ein mal. Der Gewinner erhält 3 Punkte, der Verlierer 0 Punkte und bei einem Unentschieden bekommt jeder Spieler einen Punkt. Nachdem jeder genau einmal gespielt hat, haben alle fünf Spieler gleich viele Punkte. Wie viele Unentschieden kann es gegeben haben? Gib alle Möglichkeiten an.
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Jeder spielt 4 Mal und hat am Schluss 0 bis 12 Punkte.

Total 5*4/2 = 10 Partien. Dabei werden 10*2=20 bis 10*3=30 Punkte vergeben.

Nun haben alle gleich viele Punkte: Daher ist die Gesamtpunktzahl 20, 25 oder 30.

Nun musst du offenbar alle Möglichkeiten angeben:

Total 20 heisst: Es gab immer Unentschieden. Das ist genau eine Möglichkeit für 10 Unentschieden.

Total 25 heisst: Jeder hat einmal gewonnen, einmal verloren und 2 Mal Unentschieden gespielt. Die Hälfte aller Partien endete mit Unentschieden: Also total 5 Unentschieden.

Was du da genau zählen sollst, steht in der Frage nicht exakt. Ich nehme mal an, dass man alle Spieler unterscheidet aber dass die Reihenfolge der Wettkämpfe nicht berücksichtigt.

Spieler 1 könnte gegen 2-5 gesiegt haben (4 Mögl.), dann noch 3 Mögl. gegen einen andern zu verlieren und dann ist klar, gegen wen er Unentschieden spielte. Fazit von Spieler 1 aus gesehen: 12 verschiedene Möglichkeiten.

Dasselbe gilt analog für die andern Spieler. Beachte aber, dass sie immer weniger Möglichkeiten haben, da sie gewisse Partien schon gespielt haben. Da musst du sorgfältig Fallunterscheidungen aufzählen oder dir einen andern Rechenweg überlegen.

Total 30 heisst: Jeder hat 6 Punkte. Jeder hat genau 2 Mal gewonnen und 2 Mal verloren. Kein Unentschieden. Also 0 Möglichkeiten.

Sollte die Frage

Wie viele Unentschieden kann es gegeben haben? 

bedeuten Wie viele Unentschieden kann es höchstens gegeben haben? 

Wären das 10.

Wie viele Unentschieden kann es gegeben haben? 

Hier kann man Antworten: Es kann 0, 5 oder 10 Unentschieden gegeben haben. Das wären 3 Möglichkeiten für die Zahl der Unentschieden.

Lass den grünen Teil einmal weg, wenn du anhand der Themen im Unterricht keine Aufgabe aus der Kombinatorik erwartest.

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"Bei einem Wettbewerb mit 5 Spielern spielt jeder Spieler gegen jeden anderen genau ein mal. Der Gewinner erhält 3 Punkte, der Verlierer 0 Punkte und bei einem Unentschiedenbekommt jeder Spieler einen Punkt. Nachdem jeder genau einmal [gegen jeden anderen] gespielt hat, haben alle fünf Spieler gleich viele Punkte. Wie viele Unentschieden kannes gegeben haben? Gib alle Möglichkeiten an."

(1) Den [markierten] Zusatz habe ich eingefügt, da sonst die Aufgabe bei wörtlicher Interpretation uninteressant ist.

(2) Der Wettbewerb besteht aus insgesamt 4+3+2+1 = 10 Spielen.

(3) Da pro Spiel mindestens 2 und höchstens 3 Punkte zu vergeben sind, werden im gesamten Wettbewerb mindestens 2*10 = 20 und höchstens 3*10 = 30 Punkte vergeben.

(4) Haben alle fünf Spieler am Ende des Wettbewerbs gleich viele Punkte, so muss die Gesamtpunktzahl ohne Rest durch 5 teilbar sein, es müssen also insgesamt genau 20 oder 25oder 30 Punkte vergeben worden sein.

(5a) Eine Gesamtzahl von 20 Punkten ist nur möglich, wenn alle 10 Spiele unentschieden enden. Offenbar ist ein solcher Wettbewerbsverlauf auch realisierbar und jeder Spieler erzielt dabei 20:5 = 4 Punkte.

(5b) Die Gesamtpunktzahl 30 nur möglich, wenn keines der 10 Spiele unentschieden endet. Hierbei erzielt jeder Spieler 30:5 = 6 Punkte und gewinnt bzw. verliert jeweils 2 Spiele.Auch ein solcher Verlauf ist realisierbar. Sei beispielsweise S = { A, B, C, D, E } die Spielermenge und bedeute die Schreibweise P>Q mit P,Q aus M, dass Spieler P das Spiel gegen Q gewonnen hat, dann ist { A>B, A>C, B>C, B>D, C>D, C>E, D>E, D>A, E>A, E>B } ein Wettbewerbsverlauf, bei dem jeder Spiele genau zwei Spiele gewinnt und die beiden anderen verliert.

(5c) Werden insgesamt 25 Punkte vergeben, so bekommt jeder Spieler 25:5 = 5 Punkte. Da ein Spieler genau vier mal spielt und dabei jedesmal 3, 1 oder 0 Punkte erzeilt und 5 = 3 + 1 + 1 + 0 die einzige Möglichkeit ist, 5 als Summe von vier Summanden aus { 3, 1, 0 }darzustellen, muss hier jeder Spieler genau einmal gewinnen bzw, verlieren und genau zweimal unentschieden spielen. Im Wettberb gibt es dann genau 5 unentschiedene Spiele. Ist dieser Verlauf auch realisierbar? Bedeute P=Q für P, Q aus M, dass das Spiel P gegen Q unentschieden endet, dann ist { A>B, A=C, B>C, B=D, C>D, C=E, D>E, D=A, E>A, E=B } eineRealisierung mit jeweils einem Sieg, einer Niederlage, zwei Unentschieden und jeweils 5 Punkten für jeden Spieler.

Bei vollständig ausgeglichenem Punktestand am Schluss des Wettbewerbs hat also jeder Spieler
(a) 4 Punkte und alle 10 Spiele enden unentschieden oder
(b) 6 Punkte und kein Spiel endet unentschieden oder
(c) 5 Punkte und 5 Spiele enden unentschieden.
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