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Seien P und Q zwei beliebige, einstellige Logikprädikate über der Grundmenge X. Vereinfachen Sie die folgenden Aussagen so weit wie möglich.

1)

  \( ∀v ∈ X(¬(∃w ∈ X\quad ∃x ∈X\quad ∀y ∈ X\quad ∃z ∈ X\quad : P(w) ∧ P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z) ∧ ¬P(w))) \)

2)
\( ¬∃w ∈ X\quad : ¬P(x) ∧ (¬(Q(x) ⇒ Q(x)) ∨ (¬P(x) ⇒ P(x)))\)

Ich gaube dass bei der 2) nur \( ¬∃w ∈ X :  ¬P(x) ⇒ P(x)\) rauskommt, richtig? Und wie ist es denn bei der 1)?


Ich hätte es so gemacht:

  \( ∀v ∈ X(¬∃w ∈ X\quad ¬∃x ∈X\quad ∃y ∉ X\quad ¬∃z ∈ X\quad : ¬P(w) ∨ ¬P(x) ∨ ¬Q(y) ∨ Q(z) ∨ P(w)) \).

Oder kann man es noch weiter vereinfachen? So vieleicht? \( ∀v ∈ X( ∃y ∉ X : ¬P(w) ∨ ¬P(x) ∨ ¬Q(y) ∨ Q(z) ∨ P(w)) \)
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\(∀v ∈ X (¬(∃w ∈ X\quad ∃x ∈X\quad ∀y ∈ X\quad ∃z ∈ X\quad :\)

\(P(w) ∧ P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z) ∧ ¬P(w)))\)

P(w) ∧ P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z) ∧ ¬P(w)   ist für alle w ∈ X falsch

¬(∃w∈X ∃x∈X ∀y∈X ∃z∈X: (P(w) ∧ P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z) ∧ ¬P(w)) ist also wahr

Die stärkste Vereinfachung ist " w ".

-------------------

Edit:

¬∃w ∈ X :(¬P(x) ∧ (¬(Q(x) ⇒Q(x)) ∨ (¬P(x) ⇒ P(x)))

   <=> w 

denn

 ¬P(x) ⇒ P(x) ist falsch für alle x∈X, also ist (¬(Q(x) ⇒Q(x)) ∨ (¬P(x) ⇒ P(x)) falsch für alle x∈X  

dann ist auch ¬ P(x) ∧ (¬(Q(x) ⇒Q(x)) ∨ (¬P(x) ⇒ P(x)) falsch für alle x∈X

¬ ∃w ∈ X: (¬ P(x) ∧ ((¬P(x) ⇒ P(x)))  ist also wahr


 

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Vielen Dank schonmal.

Heißt das, dass bei der 1) dann

\(∀v ∈X (¬(∃x ∈ X\quad ∀y ∈X\quad ∃z∈ X : P(x) ∧ Q(y)∧ ¬Q(z))) \) am weitesten vereinfacht ist?

Wenn man die Negation ausklammern würde, würde dann auch x und z wegfallen?

Und noch eine Frage:

Muss in der letzten Lösung nicht  \( ¬∃x ∈ X... <=> ∀x∈P(x) \) stehen?

zu 1)  die weiteste Vereinfachung ist "w" und deine Vereinfachung ist falsch

zu 2)  deine Frage macht keinen Sinn: den Quantor ¬∃ kann man nicht ausklammern.

zu 3)  Die vorgegebene Aussage ist  ⇔∀ω ∈ X: P(x)

Tut mir leid, bin durcheinender gekommen.

Heißt dass jetzt dass bei der 1) nur w als Ergebnis rauskommt?
 
Ich wollte nicht den Quantor ¬E ausklammern, ich dachte dass man die geammte Aussage in der Klammer verneinen und so das ¬ wegkriegen könnte, also in dem Stil von ¬(¬A∨B) => (A∧¬B).

Und wie kommt man in der 2) auf ihr Ergebnis von  \(¬∃w ∈ X\quad : ¬P(x) ∧ (¬(Q(x) ⇒ Q(x)) ∨ (¬P(x) ⇒ P(x))\)
\(<=> ∀w ∈ X : P(x)\) ?
Da verstehe ich den Schritt von \(¬∃x ∈ X\) auf  \(¬∃w ∈ X\) nicht. Es gibt bei der 2) ja kein w.

Das ständige Hantieren mit den Quantoren nervt!

Ich antworte Im  EDIT der Frage

OH, bei der 2) hatte ich mich verchrieben. Tut mir leid.

Es heißt \( ¬∃x ∈ X\quad : ¬P(x) ∧ (¬(Q(x) ⇒ Q(x)) ∨ (¬P(x) ⇒ P(x)))\) Aber ich glaube es ist ja analog zu ihrer Lösung.

Ok, die 2) habe ich verstanden dann.

Könnten sie in der Fragestellung auch die 2) editieren? Würde die anderen nicht durcheinander bringen.

Hallo Wolfgang,

Macht es echt kein Unterschied wenn bei der Aussage in der 2) ¬∃x ∈X... statt ¬∃w∈X... steht wie Sam94 sagte? Weil die Aussage ja so von einer variabel w abhängig wäre.

Nein, so wie ich es verstanden habe ist es irrelevant. Falls ich mich irre hoffe ich, dass -Wolfgang- mich korrigiert.

Wenn die Aussage A(x) für alle x∈X falsch ist, kann es doch kein ω existieren, für dass A(x) nicht falsch ist.

Ich finde das mit dem ω allerdings auch seltsam.

Ich glaube, das ω ist ein Tippfehler, sollte wohl x heißen.

Ja, es war ein Tippfehler von mir in der 2).

Also die 2) lautet:

\( ¬∃x∈X:¬P(x)∧(¬(Q(x)⇒Q(x))∨(¬P(x)⇒P(x))) \)


Macht aber bei ihrer Lösung kein Unterschied ne? Die Vereinfachung ergibt dann auch wahr.

Nein, nach Wolfgangs Rechnung nicht.

Kann man bei der 1) dann nicht auch schreiben:

∀w∈X

oder ist hier in dem Fall nur "w" richtig? :)

Meinst du nicht ∀v∈X ? ;)

Ich glaube man schreibt: ∀v∈X = wahr. Bzw. die Aussage ist für alle v∈X wahr.

Obwohl mit vereinfachen auch nur umformen gemeint ist dachte ich.

Ich bin leider auch etwas verwirrt :P
Weil man soll ja erstmal nur umformen. Also bei 1) das nach dem Doppelpunkt ist ja wegen P(w)∧¬P(w) alles falsch bzw. wahr je nachdem wie man es nun betrachtet. Aber wieso verschwinden dann vorne ∃x∈X, ∀y∈X, usw.? Kann man die einfach wegstreichen, weil die Variablen nicht mehr benötigt werden oder wie kommt man darauf? :)

Weil -Wolfgang- meinte oben ja mal, dass gilt: "die weiteste Vereinfachung ist "w""
Dabei ist ja so gut wie alles weggefallen :)

Ich habe unter "w" nur "wahr" verstanden. Also dass dadurch, dass ...(P(w) ∧ P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z) ∧ ¬P(w)... weggfällt, die geammte Aussage wahr ist. Aber da mit vereinfachen ja umformen gemeint ist, bin ich auch total vewirrt.

Ich könnte be der 1) nur so weit vereinfachen:


∀v ∈ X(¬(∃w∈X ∃x∈X ∀y∈X ∃z∈X: (P(w) ∧ P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z) ∧ ¬P(w)))


∀v ∈ X(¬(∃w∈X ∃x∈X ∀y∈X ∃z∈X: ( P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z)))

Weil sich P(w) ∧ ¬P(w) ausschließt.

Achso ja kann gut sein :P

Oder vielleicht meint man es auch so:

∀v ∈ X(¬(∃w∈X ∃x∈X ∀y∈X ∃z∈X: (P(w)  P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z) ∧ ¬P(w)))

∀v ∈ X(¬(∃w∈X ∃x∈X ∀y∈X ∃z∈X: (P(w)  ¬P(w)  P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z) ))

Dann ist nun P(w)  ¬P(w) falsch, was dazu führt, dass (P(w)  ¬P(w)  P(x) ∧ Q(y) ∧ ¬Q(z)) falsch ist

Dann hat man ja ∀v ∈ X(¬(∀w∈X ∀x∈X ∃y∈X ∀z∈X: (Aussage Falsch)))

und durch die Negation am Anfang wieder

∀v ∈ X(∃w∈X ∃x∈X ∀y∈X ∃z∈X: (Aussage wahr)

Und dann ist es halt egal was für v,w,x,y,z wählt
Die Aussage ist immer wahr

Vlt meint man es so :)

Klingt absolut logisch =)

Könnte vielleicht ein Profi sagen ob's stimmt? Dass schlimme ist ja, dass wir weder so eine Aufgabe jemals gemacht haben, noch dass es ansatzweise vergleichbare Aufgaben mit Lösungen gibt.

Also nach dieser Lösung von dieser Aufgabe stimmt es was du bzw. -Wolfgang- gesagt haben.

https://www.mathelounge.de/50290/vereinfachen-sie-die-folgenden-logischen-ausdrucke-%C2%ACa-%C2%ACb-%C2%ACa

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