Menge als Vereinigung endlicher Intervalle schreiben

Question

{ x ∈ ℝ \ {2} : 3/(2-x) ≤ 2 + x }
Mein Ansatz wäre folgenden:Ich habe ein Falluntescheidung gemacht
Falls x < 2        { x ∈ ℝ \ {2} : 3/(2-x) ≤ 2 + x } |*(2-x)⇔  { x ∈ ℝ \ {2} : 3 ≤ 4 -x² }⇔  { x ∈ ℝ \ {2} : x² ≤ 1 }⇔  { x ∈ ℝ \ {2} : -1 ≤ x ≤ 1 }=   [-1,1]
Falls x > 2        { x ∈ ℝ \ {2} : 3/(2-x) ≤ 2 + x } |*(2-x)⇔  { x ∈ ℝ \ {2} : 3 ≥ 4 -x² }⇔  { x ∈ ℝ \ {2} : x² ≥ 1 }⇔  { x ∈ ℝ \ {2} : -1 ≥ x ≥1 }=   (-∞.-1] ∪ [1,+∞)
Wenn ich mir aber meine Lösung so anschaue, kommt sie mir ganz und gar nicht richtig vor.Leider weiß ich nicht weiter... könnt ihr mir eventuell zeigen was ich falsch gemacht habe?

Answer 1

Hi Karin,

ich verstehe nicht, warum du versuchst die Mengen direkt umzuformen, anstatt die Fallunterscheidung direkt auf die Ungleichung anzuwenden und daraus dann die Lösungsmenge zu entnehmen.

Bei deiner Lösung hast du übrigens die Voraussetzung der Fallunterscheidung nicht berücksichtigt. Im ersten Fall kein Problem, im zweiten Fall wäre aber die Lösungsmenge die sich ergibt: $(2,\infty)$.

Gruß

Comments

Wenn ich also die Fallunterscheidung direkt auf die Ungleichung anwende sollte sie doch so aussehen oder?:

{ x ∈ ℝ \ {2} : (3 ≤ 4 -x²) ∪ (3 ≥ 4 -x²) }Was meinst du jedoch mit der Voraussetzung der Falluntescheidung?

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Nein das meinte ich nicht. Ich meinte, dass du anstatt jedesmal irgendwelche Mengen umformst so vorgehst:

Betrachte $\frac{3}{2-x} \leq 2+x$

Ich zeig's dir mal für den Fall $x > 2$. Das wäre übrigens die Voraussetzung für diesen Fall.

Ich spar mir die Zwischenschritte, da du ja selber die Umformungen korrekt gemacht hast. Also für $x > 2$ ist

$$\frac{3}{2-x} \leq 2+x \Leftrightarrow x^2 \geq 1$$

Was bedeutet, dass $x\geq1$ oder $x \leq -1$.Unsere Lösungsmenge für diesen Fall ist die Schnittmenge aus der Voraussetzung und der Bedingung aus der Umformung und entspricht somit dem Intervall $(2,\infty)$.

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Aso, ich glaube ich habe es verstanden.

Für den 2. Fall x < 2 wäre es dann folgendermaßen: x < 2 ∩ x² ≤ 1. Und die Lösungsmenge wäre somit [-1,2)↦ Die Lösungsmenge für die Gesamte Aufgabe (2,∞) ∪ [1,2)Ich hoffe mal ich habe es endlich richtig verstanden. Vielen dank für deine Hilfe!

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Leider nicht:

$$( -\infty, 2) \cap [-1,1] = [-1,1]$$

Oder in Aussagen:

$$(x<2) \wedge (x^2 \leq 1 ) \Leftrightarrow x^2 \leq 1$$

Gruß und gerne.