folgende Aufgabe ist gegeben:
"Es seien a1, a2, ..., an Elemente eines Körpers K. Zeigen Sie duch vollständige Induktion: Die Summe dieser n Zahlen ak ∈ K hängt nicht von der Art der Klammerbildung und der Reihenfolge (Umordnung) ab."
Mein Ansatz / Lösung:
Sei K ein Körper und a1, a2, ..., an Elemente des Körpers K. Dann existiert eine
endliche Menge A = {a1, a2, ..., an}. Weiterhin gilt ∀a∈A das Assoziativgesetz,
der Addition, da K sonst kein Körper bilden würde. Die Summe von n Zahlen aus
der Menge A ist somit unabhängig von der Art der Klammerbildung.
Zudem sei a1, a2, ..., an als n definiert.
Beweis:
∑na=1 (n) = a1, a2, ..., an
Aus A(1) folgt 1 = 1.
Behauptung: Dies gilt auf für n + 1.
Rechnung:
∑n+1a=1 (n) = n + (n + 1)
∑na=1 n+1 = n + (n + 1)
n + n + 1 = n + (n + 1)
n + n + 1 = n + n + 1
Stimmt meine Lösung? Wenn nicht, was habe ich falsch gemacht?
Florian T. S. :-)
