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Bitte um Rechenweg und Erklärung ! Danke im Vroaus!


Ein Drahtstück der Länge 1 m wird an einer zufälligen Stelle X in zwei Teile geteilt, wobei P(X≤x)=x. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der längere Teil mehr als 1,8 mal so lang ist wie der kürzere Teil?

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Man muss berechnen, für welche Werte von \(X\) die Bedingung erfüllt ist. Wenn man den Draht an der Stelle \(X\) trennt, hat das eine Stück die Länge \(X\) und das andere Stück die Länge \(1-X\). Somit muss folgendes gelten:

\(X > 1,8 \cdot (1-X) \) und \(X > \frac{1}{2}\) (dann ist das erste Stück das längere) oder

\(1,8 \cdot X < (1-X) \) und \(X < \frac{1}{2}\) (dann ist das zweite Stück das längere).

Lösung im ersten Fall ist \(X > \frac{9}{14} \). Lösung im zweiten Fall ist \(X < \frac{5}{14} \).

Insgesamt berechnet man die Wahrscheinlichkeit des gewünschten Ereignisses aufgrund von \( X\in[0,1]\) wie folgt:

$$ P\left(0\leq X < \frac{5}{14} \right) + P\left( \frac{9}{14} < X \leq 1\right) $$

Das kannst du jetzt zu Ende machen. Beachte, dass die beiden Summanden aus Symmetriegründen gleich sind.

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