(A×C)∪(B×D)⊂(A∪B)×(C∪D) Teilmenge kartesischer Produkte

Question

kann mir jemand folgendes möglichst simplifiziert beweisen?

(A×C)∪(B×D)⊂(A∪B)×(C∪D)

ein zusatz meiner aufgabe ist es, anhand eines beispiels zu zeigen, dass die mengen nicht zwingend gleich sind - doch wie ich es auch mache, am ende kommen die selben kartesischen produkte heraus.

ich hoffe, der teilmengenbeweisthematik mit einer lösung ein gewisses verständnis abgewinnen zu können um mich dem ein wenig besser entledigen zu können.

Answer 1

(A×C)∪(B×D) ⊂ (A∪B)×(C∪D)

Bew: Sei x aus  (A×C)∪(B×D)   Dann ist x  aus  A×C oder  aus B×D

also gibt es  a aus A und c aus C  mit x = ( a ; c )

ODER  es gibt   b aus B und d aus D  mit x = ( b ; d).

Also  unterschieden wir zwei Fälle
1. Fall:  es gibt   a aus A und c aus C  mit x = ( a ; c )
da a aus A also auch aus  A∪B und c aus C also auch aus C∪D
ist ( a ; c ) aus  (A∪B)×(C∪D)   also
x aus (A∪B)×(C∪D).
2. Fall so ähnlich.

Gegenbeispiel für Gleichheit
A= C = {1;2}      B= D = {2;3}
Dann ist z.B. (1;3) in (A∪B)×(C∪D)
aber weder in AxC noch in BxD