Aus Maximum folgt Supremum (Beweis)

Question

Ich soll folgendes beweisen:

Ist m∈M eine obere Schranke von M, dann gilt
m = max M = sup M

Bed. (Maximum)  - m ∈ M sein und für alle x ∈ M ist x ≤ m

Bed. (Supremum)  Für alle x ∈ M ist x ≤ m und jede Zahl x ∈ M ist keine obere Schranke von M
m ∈ M ∧ x ≤ m ⇒ m = Sup, beide Bedingungen sind erfüllt, bis aus das jede Zahl x keine obere Schranke von M ist, aber das ist nicht im Ansatz ein Beweis :(

Answer 1

das \(m\) das Maximum von \(M\) ist, folgt ja sofort aus der Definition. Betrachte \( s = \sup (M) \) und nehme an, dass \( s \leq m \) gilt. Dann muss aber direkt auch \( m \leq s \) gelten (sonst wäre \(s\) keine obere Schranke von \(M\)). Also folgt \(s=m\).

Gruß