Beweise: Ist x + 1/x Element von Z, so ist xn + 1/xn Element von Z.

Question

Hallo Frage im Bild. Ich sehe diesen Beweis als Implikation von der ich die prämisse als wahr annehme und von ihr aus die Konklusio zeige.Sei x+1/x element von Z -->(x+1/x)ⁿ element von Z aber weiter komm ich leider nicht . Bitte um Hilfe , Danke.

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Warum soll denn

1ⁿ + 1/1ⁿ nicht in Z sein?

Hast du ein Beispiel für ein n, bei dem das nicht so ist?

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Ist das über den Widerspruchsbeweis nicht richtig?

Es muss doch ein Widerspruch rauskommen wenn man de Morgan anwendet, damit die Implikation war ist. Wie wäre deine Lösung?

Answer 1

wie wäre es mit vollständiger Induktion?

Hinweis: Schau dir mal \( (x^n+\frac{1}{x^n}) \cdot (x + \frac{1}{x} )\) an.

Gruß

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Ok ich werde es Probieren .  Kann man den Anfang nur für die Konklusio machen? und sagen die prämisse nehm ich als wahr an?

Also : für n=0      xⁿ +1/xⁿ= 1+1=2 ist ein Element aus Z

Für den Schritt hab ich mir überlegt dass ich dann zeigen muss xⁿ⁺¹ +1/xⁿ⁺¹ .Die Zeile hab ich mir angschaut der Zweite Term ist genau wieder die Vorausetzung die man einbauen sollte.Aber wie ich da dann weiter komme weis ich leider nicht .

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Wenn man eine Folgerung direkt zeigt dann verwendet man doch immer die Voraussetzung, was für einen Sinn hätte das ganze denn sonst. Den IA würde ich bei n=1 machen (oder zusätzlich was zu sagen).

Multiplizier doch einfach den Term in meinem Hinweis aus und verwende, dass das Produkt zweier ganzen Zahlen eine ganze Zahl ist (linke Seite) und die Summe bzw. Differenz zweier ganzen Zahlen ebenfalls eine ganze Zahl ergibt.

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Ok hab den Anfang für 1 gemacht und das ergibt dann den gleichen Term wie die prämisse hat sozusagen muss sie dann trivialerweise gelten.

Den term hab ich ausmultipliziert . Wenn man das Produkt zweier ganzen Zahlen eine ganze Zahl ist , muss ich zuerst annehmen können das der Term ( xⁿ +1/xⁿ) eine ganze zahl ist ,bzw. wiso kann ich annehmen das die summanden alles wider Ganze Zahlen sind ?

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Tue dir selbst einen Gefallen und wiederhole die vollständige Induktion. Deine Fragen beantworten sich quasi von selbst.