Zeigen Sie, dass diese Ungleichung gilt: |x-z|<2ε

Question

Die Ungleichung  |x − y| < ε , |y − z| < ε , welche durch x,y,ε erfüllt wird.

Immer wenn diese Variablen diese Ungleichung erfüllen, muss |x-z|<2ε gelten.

Wie zeige ich das am besten?

Danke liebes Mathe Team!

Antworten würden mir "sehr" weiterhelfen bin schon seit Stunden dran.

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Vom Duplikat:

Titel: Wann gelten diese Gleichungen? Ungleichung beweisen

Stichworte: beweis,zeigen,gleichung,ungleichung

Beweisen bzw. zeigen  Sie, dass, wann immer die reelle Zahlen x, y, ε die Ungleichungen |x − y| < c, |y − z| < c erfüllen,

das gelten muss:  |x − z| < 2c gelten muss. 

Leider ist beweisen nicht meine stärke, wie zeigt man das am besten?

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Stichwort Dreiecksungleichung.

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Hi, das sollte leicht aus der Dreiecksungleichung folgen, wenn du die beiden Bedingungsungleichungen addierst.

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Dieselbe Frage wurde vor ein paar Tagen schon einmal hier gestellt und ist ohnehin ebenso alt wie langweilig. Welche Idee hättest Du denn dazu?

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Langweillig? 
Es gab leider keine Antwort, wo liegt das Problem die Frage nochmal zu stellen, falls sie jemand der sie beantworten kann vielleicht nicht gesehen hat?
Ich versuche hier nur Hilfe zu bekommen.

Meine Idee? Ich weiß es leider nicht, es macht schon Sinn, da ε immer größer ist, aber wie ich das am besten schreiben soll, oder angehen soll, leider weiß ich es nicht genau, sonst würde ich keine Frage stellen.

Answer 1

Verwende die Dreiecksungleichung.

Gruß

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Ich danke dir für die Antowort, die Frage zu stellen hat also doch etwas gebracht!

Ich werde das jetzt durchgehen, macht es dir aus etwas mehr Infos zu schreiben, du scheinst davon Ahnung zu haben,  zur Herangehensweise?

Danke

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Ich weiß nicht was ich mehr schreiben könnte ohne dir direkt die Lösung zu verraten :). Das ist halt eine typische Aufgabe dafür zu erkennen, wann man diese benutzen kann

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Cool, ich werde gleich mal meine Rechnung hochstellen mit der Dreiecksgleichung, villt kannst du mir sagen was ich falsch gemacht hab

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Ich habe die Dreiecksungleichung: |x|+|y| <= |x+y| ich habe mir gedacht, da diese gleichung ja aussgat, dass

|x|+|y|  kleiner oder gleich |x+y|  ist, man den Wert da einsetzen könnte also

|x-y| <  ε <= |x|-|y| <  ε das müsste ja nach dieser Gleichung gelten

|y-z| <  ε <= |y|-z| <  ε  müsste ja nach der Gleichung ebenfalls gelten

Die wollen aber etwas mit |x-z| <2ε haben, was es erschwert

ich könnte mir vorstellen das man schreiben könnte 

 |x-z| <2ε  ist <= als   |x| -|z| <2ε  das ist jetzt auf die Dreiecksgleichung bezogen und ist der beste Ansatz der mir so einfällt dazu diese Formel darauf anzuwenden, nur hab ich nicht das Gefühl das es ist, wie es sein soll.

Das ist aber ehrlich was mir erstmal einfällt.

Danke

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Du hast die Dreiecksungleichung genau falsch herum aufgeschrieben. Ich will dich nicht länger auf die Folter spannen, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht, der Grundgedanke hinter der Lösung ist relativ simpel: (ich empfehle dir die folgende Ungleichungskette von rechts nach links durchzugehen)

$$ |x-z| = |x-y+y-z| \leq |x-y| +|y-z| < \varepsilon + \varepsilon = 2 \varepsilon $$