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ich muss aus der bernoullischen Ungleichung folgern, dass

 

(1+1/n-1)n-1 < (1+1/n)n

 

Ich hab es schon versucht, aber ich komme einfach nicht weiter.

Eigentlich sieht das ja nicht schwer aus. Aus der Bernoullischen Ungleichung folgt ja, dass

(1+1/n)n > 2, aber wenn ich dann folgere (1+1/n)n ≥ 2 > (1+1/n-1)n-1, dann passt das nicht, da 2 ja nicht immer größer ist als (1+1/n-1)n-1. Wie muss ich so eine Aufgabe anfangen?

Wäre auch schon für Lösungsansätze sehr dankbar.

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Hi, zu zeigen ist
$$ (1) \quad \left( 1+\frac{1}{n-1} \right)^{n-1} \le \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n  $$ das ist äquivalent mit
$$ 1-\frac{1}{n} = \left( 1+\frac{1}{n-1} \right)^{-1} \le \left( \frac{(n+1)(n-1)}{n^2} \right)^n = \left( 1-\frac{1}{n^2} \right)^n  $$

was wegen der Bernoullischen Ungleichung richtig ist.

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Also ist

1+1/n = (1+1/(1-n))-1 ≤ ((1+n)/(1-n))n = ((n+1)*(n-1)/(n-1)*(n-1))n =

((n+1)*(n-1)/n2+2n+1)n < ((n+1)*(n-1)/n2)n = (1-1/n2)

Habe ich das so richtig verstanden? 

Das versteh ich nicht. Der Anfang ist bei Dir doch schon falsch.

\( 1 + \frac{1}{n} \ne \left( 1 + \frac{1}{1-n} \right)^{-1} \)

\( \left( 1 + \frac{1}{1-n} \right)^{-1} = \frac{2-n}{1-n} \)

Und eigentlich musst Du nur meine Formeln ausrechnen und bestätigen.

Oh Entschuldigung. Ich habe mich verschrieben.

Ich verstehe deine Ungleichung irgendwie nicht.

Wie kommst du auf

(1+1/(n-1))-1 ≤ ((n+1)*(n-1)/n2)

Hi, ich habe Gleichung (1) auf beiden Seiten durch \( \left( 1+\frac{1}{n-1} \right)^n \) dividiert und die rechte und linke Seite der Gleichung dann ausgerechnet.

OK vielen Dank 

Du rettest mich

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