Summanden einer Summe, Rechnung

Question

Ich bin versuche mich mal wieder an einer Induktionsaufgabe und verstehe einen Schritt nicht:

$\sum_{k=2^n}^{{2}^{n+1}-1}\frac{1}{k}$ ≤ $\sum_{k=2^n}^{{2}^{n+1}-1}\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$ = $\frac{1}{{2}^{n+1}-1}*\sum_{k=2^n}^{{2}^{n+1}-1} 1$

Jetzt folgt die Frage: Wie viele Summanden hat die Summe: $\sum_{k=2^n}^{{2}^{n+1}-1}$ ?

Antwort: ${2}^{n+1} -1 - {2}^{n} + 1 = {2}^{n} ( 2-1) = {2}^{n}$

Die Rechnung im rechnerischen Sinne ist trivial, allerdings verstehe ich ich nicht, wie man darauf kommt, dass die Summe ${2}^{n}$ Summanden hat.

Answer 1

2ⁿ⁺¹ - 1  - (2ⁿ -1)  = 2ⁿ⁺¹ - 2ⁿ  = 2 • 2ⁿ - 2ⁿ = 2ⁿ + 2ⁿ - 2ⁿ = 2ⁿ2ⁿ⁺¹ ist eben das Doppelte von 2ⁿ
Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang,

deine Rechnung verwirrt mich fast schon noch mehr :/

Vielleicht habe ich mich auch falsch ausgedrückt. Ich wollte eigentlich wissen, wie man auf die ganze Rechnung der "Antwort" kommt.