partielle Ordnung auf einer Menge

Question

ich bin bei folgender Aufgabe völlig hilflos:

Mit R ◦ R wird die Verkettung einer binären Relation auf einer Menge M bezeichnet. R ◦ R enthält genau die Paare (a,c) ∈ M × M, für die ein b ∈ M mit (a,b) ∈ R und (b,c) ∈ R existiert.

Zeigen Sie: Ist R eine partielle Ordnung auf einer Menge M , dann ist auch R ◦ R eine partielle Ordnung auf M.

Comments

wir cottbuser studenten haben es nicht leicht

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Da hattet ihr die gleiche Idee wie ich :D

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ich glaube jeder von uns hatte diese idee....ob die aufgabe irgjmd gelöst hat!??! :D

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Das Bild ist bei mir auch nicht sichtbar (Chrome)

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Die Frage scheint mir auch ohne das Bild einigermassen vollständig zu sein. Fehlt etwas?

Kann man das Bild einfach entfernen?

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Bild entfernt. (War kein Bild, sondern ein fehlerhafter Upload.)

Answer 1

Sei R eine partielle Ordnung auf M.

Zu zeigen ist, dass R ◦ R refelxiv, antisymmetrisch und transitiv ist.

Reflexivität

Sei m ∈ M. Gibt es ein b ∈ M, so dass (m, b) ∈ R und (b,m) ∈ R ist, dann ist (m,m) ∈ R ◦ R (laut Definition von R ◦ R). Es gibt ein b ∈ M, so dass (m, b) ∈ R und (b,m) ∈ R ist, nämlich b=m, weil R eine partielle Ordnung und damit reflexiv ist.

Antisymmetrie

Seien (m,n) ∈ R ◦ R und (n,m) ∈ R ◦ R. Sei a ∈ R, so dass (m,a) ∈ R und (a,n) ∈ R (ein solches a existiert laut Definition von R ◦ R). Wegen der Transistivität von R ist dann (m,n) ∈ R. Analog dazu ist auch (n,m) ∈ R. Wegen der Antisymmetrie von R ist dann m = n.

Transitivität

Seien (p,q) ∈ R ◦ R und (q,r) ∈ R ◦ R. Seien s,t ∈ R mit (p,s)∈R, (s,q)∈R, (q,t)∈R, (t,r)∈R (solche s,t existieren laut Definition von R ◦ R). Dann sind (p,q) ∈ R und (q,r) ∈ R wegen der Transitivität von R. Laut Definition von R ◦ R ist dann (p,r) ∈ R ◦ R.