Beweis per vollständiger Induktion (Körper K):

Question

ich habe hier folgende Aufgabe. ∀k∈ℕ seien a_k,b_k Elemente eines Körpers.
Zudem: A_k:= a₁ + ... + a_k.
Folgendes soll bewiesen werden: ∑ⁿ_k=1 a_kb_k = A_nb_n + ∑^n-1_k=1 A_k (b_k - b_k+1).

Meine Überlegungen bisher:
Natürlich soll hier per vollständiger Induktion bewiesen werden, alles andere wäre wahrscheinlich viel zu kompliziert oder gar nicht machbar.

Für n = 1 folgt: ∑¹_k=1 a₁b1 = A₁b₁ + ∑^1-1_k=1 A_k (b_k - b_k+1).
Auf der linken Seite folgt dann a₁b₁ und auf der rechten Seite A₁b₁, da die Summe ja bis 0 zählt. Wir wissen durch A_k, dass A₁ = a₁ ist, also das erste Element in der Summe von A_k. Daraus folgt, dass der erste Schritt für n = 1 gezeigt wurde.

Induktionsschritt:
∑ⁿ⁺¹_k=1 a_kb_k = A_n+1b_n+1 + ∑ⁿ_k=1 A_k (b_k - b_k+1).
Daraus folgt dann ∑ⁿ_k=1 a_kb_k + a_k+1 b_k+1 = A_n+1b_n+1 + ∑ⁿ_k=1 A_k (b_k - b_k+1).
In diesem Schritt habe ich auf der linken Seite das n+1 aus der Summe herausgezogen. Bin ich korrekt vorgegangen? Auf der rechten Seite habe ich zuvor das n durch ein n+1 ersetzt. Ab diesem Punkt weis ich nicht mehr weiter, da mir das umformen mit Summen noch unbekannt ist.

Florian T. S.

Comments

Links kann ich noch umfomen zu:
A_nb_n + ∑^n-1_k=1 A_k (b_k - b_k+1) + a_k+1b_k+1
Da wir ja wissen, dass ∑ⁿ_k=1 a_kb_k = A_nb_n + ∑^n-1_k=1 A_k (b_k - b_k+1).

Answer 1

Die linke Seite lautet ∑ⁿ_k=1 a_kb_k + a_n+1 b_n+1. Diesen Term kannst du wie folgt umformen:

∑ⁿ_k=1 a_kb_k + a_n+1 b_n+1

= A_nb_n + ∑^n-1_k=1 A_k (b_k - b_k+1) + a_n+1 b_n+1 (wegen Induktionsvoraussetzung)

= ∑^n-1_k=1 A_k (b_k - b_k+1) + A_nb_n + a_n+1 b_n+1 (wegen Kommutativgesetz)

= ∑^n-1_k=1 A_k (b_k - b_k+1) + A_n(b_n-b_n+1) - A_n(b_n-b_n+1) +A_nb_n + a_n+1 b_n+1 (wegen Neutralität der 0)

= ∑ⁿ_k=1 A_k (b_k - b_k+1) - A_n(b_n-b_n+1) +A_nb_n + a_n+1 b_n+1 (durch Zusammenfassen)

= ∑ⁿ_k=1 A_k (b_k - b_k+1) - A_nb_n + A_nb_n+1 +A_nb_n + a_n+1 b_n+1(wegen Distributivgesetz)

= ∑ⁿ_k=1 A_k (b_k - b_k+1) + A_nb_n+1 + a_n+1 b_n+1 (wegen Neutralität der 0)

= ∑ⁿ_k=1 A_k (b_k - b_k+1) + (A_n+a_n+1)b_n+1 (wegen Distributivgesetz)

= ∑ⁿ_k=1 A_k (b_k - b_k+1) + A_n+1b_n+1 (per Definition von A_k)

Comments

kannst du den schritt mit dem zusammenfassen bitte nochmal erklären ??? ich versteh das nicht...

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Steht doch alles schon in Klammern gesetzt?

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ja aber wie kommst auf diese Zusammenfassung ? lesen kann ich ;)

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Scheinbar nicht. Schau nochmal genau hin.