Beweis per Vollständiger Induktion: 2^r >=(r+1)^3

Question

2^r >=(r+1)^3

r = 11 Stimmt auf beiden Seiten.

(I.V.): 2^r >=(r+1)^3

(I.B.): r ==> r+1:   2^{r+1} >=(r+2)^3

(I.S.)

2^{r+1} = 2^r * 2 >= 2(r+1)^3...

...Zu zeigen gilt nun, dass 2(r+1)^3 >= (r+2)^3 gilt

2 Induktion:

r = 11 Stimmt auf beiden Seiten.

(I.V.): 2(r+1)^3 >= (r+2)^3

(I.B.): r ==> r+1:   2((r+1)+1)^3 >= (r+3)^3

(I.S.)

 2((r+1)+1)^3 =  2[ (r+1)^3+3(r+1)^2+3(r+1)+1 ]  = 2(r+1)^3 + 6(r+1)^2 + 6(r+1) + 2

= (I:V)   (r+2)^3 + 6(r+1)^2 + 6(r+1) + 2  Nun kommt das Problem ich komme nicht mehr auf (r+3)^3, kann hier wer helfen bitte?

Answer 1

Was Du gerne haettest ("Wunschungleichung") ist \(2(r+1)^3\ge(r+2)^3\). Die ist aequivalent zu \(2\ge\left(1+\frac{1}{r+1}\right)^3\). Es ist sehr einfach, die direkt zu untersuchen, waehrend eine zweite Induktion nicht so geschickt ist.

Comments

Und wie forme ich dies nun vernünftig um, damit die Bedingungen erfüllt sind?

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Es ist bereits vernuenftig umgeformt. Was noch aussteht, ist die Frage, für welche \(r\) diese beiden Ungleichungen gelten. Ablesen sollst Du das an der zweiten (zur ersten aequivalenten) Form. (Ohne Induktion, ohne weitere Umformung.)

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Ok, ich bin nur etwas verwirrt, denn uns wurde immer gesagt, dass wir solange umformen sollen, bis eine "offensichtliche "Lösung eintritt, also so etwas wie 2>r oder man formt solange um bis die (I.B.) erreicht wurde.  Weißt du was ich meine? Will halt nur keine Punkte verlieren.

r müsste laut Startbedingung r>=11 sein

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Ich rede von der Wunschungleichung \(2(r+1)^3\ge(r+2)^3\). Dass die für \(r\ge11\) gilt, haettest Du gerne. Dann kannst Du sie naemlich zum Abschluss Deines Induktionsschritts benutzen. Tut sie es auch? Das ist eben die Frage, die Du noch zu beantworten hast. Aus der aequivalenten Form \(2\ge\left(1+\frac{1}{r+1}\right)^3\) laesst sich der Gueltigkeitsbereich unmittelbar ablesen. Musst Du jetzt bloss noch machen.

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Oki, also ich würde ja gerne damit argumentieren, dass je größer r wird, desto größer wird der Nenner und je größer der Nenner wird, desto kleiner wird rechte Term der rechten Seite. Kurz gesagt man nähert sich der 1 und 2>=1, also müsste dies so stimmen.

Nun kommt aber das Problem, wenn darf ich so argumentieren, wenn mir solche "Näherungswert-Dicker" noch gar nicht bekannt sein dürften. Der Prof sagt immer nur, was noch nicht in der Vorlesung dran war muss bewiesen werden und ich will nicht 50+ Sätze Beweisen um irgendetwas kleines zu erklären:)

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Ohne solche Ueberlegungen entstehen keine Abschaetzungen. Und ohne kommst Du bei der Aufgabe nicht aus. Es ist nun mal eine Abschaetzung, die Du beweisen sollst.

Wenn Dir die angebotene Lösung nicht gefaellt, ueberlege Dir selber eine.

Hier werden noch zwei weitere, eher kreative Alternativen angeboten: https://www.mathelounge.de/482690/vollstandige-induktion-bei-der-ungleichung-2-n-n³. Allerdings sind die auch nichts für Dich. Anstatt "wenn man durch mehr teilt, kommt weniger raus" wird da "wenn man weniger addiert/mehr subtrahiert, kommt weniger raus" benutzt.

Mit einer weiteren Induktion wirst Du Dein Problem jedenfalls kaum loesen koennen. Aber es ist auch Deines. :)