Folgen mit Monotonieeigenschaften

Question

zur folgenden Aufgabe habe ich Lösungen, bin mir aber nicht sicher, ob die Antworten korrekt sind:

Skizzieren Sie die Folgen und zeigen Sie formal (nicht nur graphisch!), welche Monotonieeigenschaften sie haben und ob die Folgen beschränkt sind:

(a)
$${ a }_{ n }=\frac { 1 }{ n } -4,\quad n\ge 1\\ a(n)\ge a(n+1)\\ \Rightarrow \quad \frac { 1 }{ n } -4\ge \frac { 1 }{ n+1 } -4\\ \Rightarrow \quad \frac { 1 }{ n } \ge \frac { 1 }{ n+1 } \cdot n\\ \Rightarrow \quad 1\ge \frac { n }{ n+1 } \\ \Rightarrow \quad n+1\ge n$$

wahre Aussage
streng monoton fallend

(b)
monoton wachsend (b_n+1)
monoton fallend (b²_n-2)
unbeschränkt?

(c)
$${ c }_{ n }=2n+{ (-1) }^{ n },\quad n\ge 1\\ 1.\quad Fall:\quad n\quad gerade\\ 2n+{ (-1) }^{ n }\le 2(n+1)+{ (-1) }^{ n+1 }\\ \Rightarrow 2n+1\le 2(n+1)-1\\ \Rightarrow 2n+1\le 2n+2-1\\ \Rightarrow 2n+1=2n+1\\ a(n)=a(n+1)\\ \\ 2.\quad Fall:\quad n\quad ungerade\\ 2n+{ (-1) }^{ n }\le 2(n+1)+{ (-1) }^{ n+1 }\\ \Rightarrow \quad 2n-1\le 2(n+1)+1\\ \Rightarrow \quad 2n-1\le 2n+2+1\\ \Rightarrow \quad 2n-1\le 2n+3\\ \Rightarrow \quad 0\le 3\\ \Rightarrow \quad 0<3\\ a(n)<a(n+1)\\ Daraus\quad folgt:\quad a(n)\le a(n+1)$$
monoton steigend
unbeschränkt


Beste Grüße,

Asterix

Answer 1

(b)
monoton wachsend (b_n+1)
monoton fallend (b²_n-2)
unbeschränkt?

bo=0

b1 = 0^2 -2 = -2

b2 = (-2)^2 -2 = 2 also nicht monoton, da

b1<bo aber b2 > b1

und von b2 an, kommen nur 2en, da

b3 = 2^2 - 2 = 2   etc.  also bleiben alle Werte z.B. unterhalb von 3,

also beschränkt nach oben und nach unten.